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词条 BMO 空间
释义 BMO kongjian
BMO 空间(卷名:数学)
BMO space
  有界平均振动空间的简称。这是 1961年由 ƒ.约翰和L.尼伦伯格在研究椭圆型偏微分方程的解时所引进的一类函数空间。 它包含着空间LRn),又是哈代空间H1Rn)的对偶空间 (见Hp 空间)。设ƒx)为定义于Rn上的局部可积函数,QRn中边平行坐标轴的任一立方体,│Q│为其体积,ƒx)同ƒ(x)在Q上的平均值的偏差用│ƒ(x)-ƒQ│表示, 它在Q上的平均值,叫做ƒ(x)在Q上的平均振幅。如果ƒ(x)满足条件

就称ƒ(x)具有有界的平均振幅,并记作ƒ∈BMO。由上述定义看出,任一Rn上的有界可测函数必具有有界的平均振幅,但反之不一定成立。例如,log|x|属于BMO空间,但它不属于L,这说明 BMO空间和L有严格的包含关系
   BMO空间与巴拿赫空间  对任一ƒ∈BMO,如定义

,可以证明为一准范数。事实上,当且仅当ƒ(x)为一常数。因此,当BMO空间中的两个函数ƒ1ƒ2相差一常数时,规定这两个函数是等同的,在这个规定之下,便成为范数,而且BMO空间为一巴拿赫空间。
  约翰-尼伦伯格不等式  由 BMO空间的定义容易验证:如果存在两正常数Aα,使得对于一切的立方体Q均满足

式中左边为勒贝格测度,那么ƒ∈BMO。约翰和尼伦伯格指出上述不等式本质上可以用来刻画BMO空间的特征。这就是存在着两正常数Aα,使得对于任一ƒ∈BMO,立方体,以及α>0,成立不等式


  费弗曼-施坦分解    另一个涉及BMO空间构造特征是由 C.L.费弗曼和 E.M.施坦给出的:ƒ∈BMO当且仅当ƒ=u+堝,此处u,υ∈L,堝为υ的希尔伯特变换。这个事实表明,判断一个函数是否属于BMO空间,可以纯粹用调和分析的语言来表述与刻画。因此,这个事实也就成为揭示BMO空间和调和分析之间内在关系的纽带,并且这方面的进一步研究成为当代调和分析的重要研究课题之一。
  费弗曼-施坦定理  关于BMO空间的研究,特别要提出费弗曼和施坦的下述结果:哈代空间H1(Rn)的对偶空间为BMO空间,记作。可以说,由于这个事实的发现,BMO空间便成为调和分析的重要角色。
  应用  由于BMO空间是H1的对偶空间,因此许多涉及H1的问题通过这个对偶关系可以用 BMO空间的性质去处理,于是BMO空间就成为研究 H1许多问题的一个新工具。例如,研究算子TH1L1的有界性,要建立不等式

        (*)由以及关系式

  可知:

于是,为使关系式(*)成立,只须证明

这就把研究算子从H1L1的有界性问题转化为研究其共轭算子慘从L到BMO空间的有界性问题了。另一个应用是,BMO空间在许多调和分析问题的研究中,可以成为空间L的合适代替。例如,傅里叶分析中的许多古典的算子T具有从LpLp的有界性(1<p<∞),也就是说不等式

成立。但当p=∞时,结论却不成立。其原因是由于当ƒL∞时,经过算子T作用后的像Tƒ不一定在L∞内。包含关系使人们想到,映像Tƒ虽不在L内,但有可能在BMO空间内,如果这是正确的话,说明算子T有可能具有从L到BMO空间的有界性。例如希尔伯特变换H虽不满足

但成立着

。因此,当算子T并不具有从LL的有界性时,可以考虑T是否具有从L到BMO空间的有界性。在这种意义下,BMO空间起到了代替L的作用。
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更新时间:2024/12/24 0:37:06