词条 | 代数函数 |
释义 | daishu hanshu 代数函数(卷名:数学) algebraic function 由不可约方程 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 应用 B.黎曼的方法可以构造一个新的曲面以代替z平面,使得在此曲面上代数函数为通常的单值函数,这个曲面即是黎曼曲面。相应于代数函数的黎曼曲面是紧的,曲面的亏格即定义为代数函数的亏格。例如,超椭圆曲线 w2=P(z)的亏格 ![]() 由方程(1)联系着的z和w 的有理函数R(z,w)之积分称为阿贝尔积分。 ![]() 关于阿贝尔积分之研究还导致代数函数的单值化的可能性问题。代数函数单值化问题是对于方程 (1)所确定的 z和w 的多值对应关系 z凮w,去寻找一个参数表示(z(t),w(t)),其中z(t)和 w(t)是定义于╦ 的子域T上的t的单值函数。代数函数的单值化问题引起了一般单值化理论之发展。19世纪下半叶和20世纪的最初10年,世界上许多杰出的数学家,如黎曼、F.克莱因、H.庞加莱、H.A.施瓦兹、B.H.纽曼和P.克贝等人都作出了重要的贡献,最后于1908年由克贝和庞加莱同时解决。代数函数这个特殊情形的解决,曾引起拓扑学与共形映射理论之结合。对于代数函数单值化的基本结论是:亏格p=0的代数函数由有理函数单值化,即 (z(t),w(t))是两个t的有理函数;亏格p=1时, 由双周期椭圆函数单值化;亏格p≥2时,由单位圆内对某个富克斯群自守的亚纯函数单值化。 代数函数论还沿着算术的方向和几何的方向发展,后者是用几何方法研究代数曲线,并发展为代数几何。 参考书目 P. Appell et E.Goursat,Théorie des Fonctions Algébrique de Leurs Intégralés,T.1~2,Gauthier-Villars,Paris,1929~1930. R. Nevanlinna,Uniformisierung, Springer-Verlag, Berlin,1953. |
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