词条 | 代数数论 |
释义 | daishu shulun 代数数论(卷名:数学) algebraic number theory 数论的一个重要分支。它以代数整数,或者代数数域为研究对象,不少整数问题的解决要借助于或者归结为代数整数的研究。因之,代数数论也是整数研究的一个自然的发展。代数数论的发展也推动了代数学的发展。 代数数论主要起源于费马大定理的研究。法国数学家P.de费马在学习与翻译丢番图的《算术》一书时,在书边上写下了著名的“大定理”,即方程xn+yn=zn(n>2)没有xyz≠0的整数解。他说他已得到了这个结果的证明,由于地方太小而未写下。可是直到现在,三百多年来经过许多数学家的努力,这个“大定理”还没有能够得到证明。 容易看出,这个结果的证明,可以归结到n=4以及n为奇素数的情形。费马本人给出了n=4的证明,L.欧拉与A.-M.勒让德证明了n=3的情形,P.G.L.狄利克雷证明了n=5的情形。虽然对于许多奇素数,人们已经证明了这个结果,但始终没有得到一个一般的证明。 E.E.库默尔是努力证明费马大定理的数学家之一。他利用n次本原单位根 ![]() ![]() ![]() C.F.高斯关于二元二次型的深入研究也引起了二次数域算术的研究。 有理数域Q上的有限扩张K 称为有限次的代数数域,K 对Q 的次数n=[K:Q]就是指K作为Q上线性空间的维数。K中每个元素都是一个次数不超过n的有理系数多项式 ![]() ![]() OK的全体非零理想组成一乘法半群, OK就是这个乘法半群的单位元素。为了方便,引入分式理想的概念。如果K 的一个子集合A是一个有限生成的OK模,那么A 就称为一分式理想。显然,理想全是分式理想。由K中任一元素α 的整数倍rα(r∈OK)组成的集合也是分式理想,它们称为主分式理想。对于分式理想可以同样地定义乘法。可以证明,K 中全体非零的分式理想在乘法下成一群,而且每个分式理想A 都可以惟一地表成素理想方幂的乘积 ![]() 环OK中可逆元素称为单位。全体单位组成一乘法群,记为UK。显然,K 中非零元素α 生成的主理想(α)=OK的充分必要条件是α∈UK。下面的正合列是基本的: ![]() ![]() ![]() 正合列(2)的另一端是单位群UK,它的结构已被狄利克雷完全决定。他证明了UK=HK×VK,式中HK为K中全部单位根组成的有限群,VK是一秩为r1+r2-1的自由阿贝尔群,r1为K 到实数域R 同构的个数,2r2为K到复数域C 同构(非实的)个数。VK的一组基称为基本单位组。具体算出基本单位组是代数数论中又一个重要的问题。基本单位组与类数有密切的联系。 整数环中一个素数p 在OK中生成一个理想pOK,一般地,它不一定是OK中的素理想。研究素数p 在OK中的素理想分解的规律,是代数数论中一个中心问题。下面把这个问题放在一个更广的形式下来讨论。 设L是代数数域K上的一个l次扩张,L当然仍是一个代数数域。它的代数整数环为OL,显然, ![]() 如果OL是OK上一自由模(秩一定是l),那么在OL中就有l个元素r1,r2,…,rl构成OL的一组基,即 ![]() ![]() 设P是OK中一个素理想。POL是OL中一个理想,它在OL中有素理想分解 ![]() ![]()
判别式与差积是刻画分歧的两个重要概念。令Tr表示有限扩张L到K 的迹。对于L中任意l个元素v1,v2,…,vl,可知det│Tr(vi,vj)│=0的充分必要条件是v1,v2,…,vl,在K上线性相关。在OL中取l个在K上线性无关的元素v1,v2,…,vl,作 ![]() 在L中定义C={v∈L│Tr(vOL)嶅OK},显然C 是L的一个分式理想,且C叾OL。令 δ(L/K)=C-1,它是OL中一个理想,称为L对于K 的差积。可以证明,OL中素理想Q在K上分歧,当且仅当Q|δ(K/L)。差积与判别式有密切联系。 研究代数数域的算术性质与代数性质之间的联系,是代数数论的一个重要的方面。 设L/K是一伽罗瓦扩张,g=g(L/K)是伽罗瓦群。可以证明,在分解式(3)中,素理想Q1,Q2,…,Qg在伽罗瓦群 g下是可迁的,因而有 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 对于代数数域上的阿贝尔扩张,有很深刻的结果,即所谓类域论。 参考书目 华罗庚著:《数论导引》,科学出版社,北京,1953。 E.Hecke,Lectures on the Theory of Algebraic Numbers,Springer-Verlag,Berlin,1981. Z.I.Borevich and I.R.Shafarevich,Number Theory,Academic Press,New York,1966. |
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