固体潮(卷名：固体地球物理学 测绘学 空间科学)
solid earth tides
在日、月引潮力的作用下，固体地球产生的周期性形变的现象。月球和太阳对地球的引力不但可以引起地球表面流体的潮汐(如海潮和大气潮)，还能引起地球固体部分的周期性形变。由于其他天体距地球甚远，对地球的引力甚微，在固体潮的研究中一般可略而不计。太阳的质量虽然是月球质量的2700万倍，但月球同地球的距离只有太阳同地球距离的1/390，所以月球的引潮力为太阳引潮力的2.25倍。
地球的固体部分并不是完全的刚体。地壳上层具有一定的刚性，地幔物质具有某种塑性，地核外层为液态（见地球内部的构造和物理性质）。固体潮使大地水准面的形状发生周期性的变化，局部发生倾斜，面上的重力值也发生变化。引潮力使地球各部分发生形变，并引起地球密度的变化，由此产生附加的引力位。到目前为止，在引起固体地球形变的种种因素(例如冰雪和海水的负荷、大陆漂移、岩石层的构造运动，等等)中，还只有固体潮能从理论上预先计算出引起形变的作用力。由于对地球内部构造模式的改进，现在已有可能以相当高的精度估算出地面点由于固体潮产生的形变量，从而可为精密大地测量工作提供地面变形的改正数据；在天文学中，可用于研究地球自转、极移和岁差、章动等现象;在地球物理学中，可用于研究地球内部构造。
研究简史 早在1876年，英国的开尔文(Kelvin)从地球形变的迹象中提出地球是弹性体而不是完全刚体的观点。这种迹象主要表现为天文观测中的一些偏差，但当时没有观测固体潮的手段，不能加以验证。19世纪60年代，德国的策尔纳 (J.K.F.Z╂llner)研制成功水平摆，并于80年代用于实际观测。但由于受到当时观测技术和理论研究水平的限制，其观测数据仍不能用于验证地球的弹性问题。一般认为最可能的验证是利用海潮的观测数据，但海潮是不遵守平衡潮规律的，所以，直到1883年英国的达尔文(G.H.Darwin)对海潮观测中长周期分量的数据进行比较，发现它只有理论值的2/3，他认为所损失的1／3是由于地球的固体表面发生与海水类似的周期性涨落所致，从而验证了固体潮的存在。20世纪50年代，随着精密仪器的出现，特别是有了精密重力仪，固体潮的观测和研究才有了实际的可能。1957年国际地球物理年期间，世界上开始了系统的固体潮观测和研究工作。
理论 引潮力 作用在地球的单位质点上的日、月引力和地球绕地月（和地日）公共质心旋转所产生的惯性离心力的合力称为引潮力。随着作用点的位置不同和日、月相对于地球的位置变化，引潮力的大小和方向也发生改变。下图表示在某一时刻地球上某一地点A所受到的月球引潮力的情况。图中P为地球绕地月公共质心旋转的惯性离心力，F为月球的引力，G为月球的引潮力，在此影响下，A点移到A＇的位置，整个地球由此引起的形变如图中虚线所示。太阳对地球的引潮力也与此类似。
引潮力位 引潮力可以表示为一个标量函数的梯度，这个标量函数称为引潮力位。由月球和太阳在地球内部形成的引潮力位既是随时间变化的函数，也是作用点在地球内部位置的函数。和地球重力场的研究方法一样，引潮力位也可以用球谐函数展开式来表示。若将坐标的原点放在地球的质心，则零阶（或次）项对地球的形变不起作用，1阶项等于零，3阶项已很微小，只是在一些特殊问题上有时会用到，4阶以上的项则因非常微小而忽略不计，一般讨论只限于2阶项。
如果把地球看作刚体，则引潮力引起的刚体地球表面上的重力变化，称为重力固体潮的理论值。它是引潮力位对矢径的导数，即：
式中塐为引潮力位。刚体地球表面上任一点的重力和某一瞬时的引潮力的合矢量方向随时间不断变化。这种变化表现为刚体地球表面的倾斜，这种倾斜称为地倾斜固体潮的理论值。由于它具有方向性，通常用两个分量来表示：南北分量ζ和东西分量η。它们分别由引潮力位对纬度嗘 和经度λ方向的导数求得，即：
式中g为地球平均重力，R为地球平均半径。平衡潮 假设在刚体地球表面上覆盖一层海水，海水是不可压缩的，设其质量和运动的惯性力都可略而不计，于是海水面在每一瞬间都处于静止平衡状态。根据这种假定，海水面在重力和引潮力的作用下，其形状相对于大地水准面将发生不断的变化，称为平衡潮。海水面沿径向位移称为平衡潮高ζ，它可以通过引潮力位求得，即：
海水面沿水平方向的位移称为平衡潮水平位移，它也有两个分量S嗘和Sλ，并可通过引潮力位求得，即：
，
。洛夫数 1909年，英国人洛夫(A.E.H.Love)引入了两个表征地球弹性的参数h和k；1912年，日本的志田顺引入了第三个参数l；这3个常数统称为洛夫数，也有时称l为志田数。其中k为弹性地球形变后产生的附加引力位与相应的原引潮力位的比值;h为弹性地球表面在引潮力作用下产生的径向位移（称为固体潮高）与其对应点的平衡潮高的比值;l为弹性地球表面在引潮力作用下产生的水平位移（称为固体潮水平位移）与相应点的平衡潮水平位移的比值。因为洛夫数k、h和 l是反映地球内部结构的参数，因此若知道地球内部的密度和弹性参数的分布，则洛夫数也可以从理论上直接解算出来。这样算出的洛夫数称为洛夫数理论值。如地球是一个均匀的球体，则可根据它的密度、刚度及平均半径来推求。如假定密度为5.5克／厘米3，刚度为1.5×1012达因／厘米2，平均半径为6371公里，则有k=0.29，h=0.48，l=0.14。这些数据与实际地球相差很多。1950年，日本竹内均应用K.E.布伦在1936年和1940年根据地震学所推导出的地球内部密度及弹性分布，成功地按数值积分方法解算地球的弹性运动方程，求出洛夫数。苏联M.C.莫洛坚斯基、英国Sir H.杰弗里斯和美国艾尔索普 (L.E.Alsop)等都进行过研究，使问题逐步深入，应用的地球模型也越来越接近于真实的地球。
70年代中，美国史密斯(D.E.Smith)建立了旋转椭球的弹性地球模型，由于考虑到地球的扁率和科里奥利力，使问题变得复杂，但在理论上更加完善。1979年，他的学生瓦尔(J.Wahr)进一步完善了这一工作。瓦尔的贡献在于提出了采用本征函数求解的方法，并实际地解算了考虑到扁率和自转的地球弹性形变方程，推出洛夫数h、k和l的理论值。
观测 研究固体潮一方面必须在地面上进行大量的精密观测，推算出洛夫数以及它们的分布规律，另一方面又可以根据已知的地球模型直接解算出洛夫数。通过实践与理论的比较，可进一步阐明地球内部结构和物理性质。
数据推算 对于实际地球，固体潮所引起的变化除了刚体地球表面倾斜变化和重力变化的理论值外，还有地球弹性形变和附加引力位的影响。在两者的联合影响下所得观测值与理论值之比称为固体潮特征数。重力观测的特征数以δ表示，它与洛夫数的关系为：
，此特征数永远大于1，一般在1.15～1.20之间，故又称为扩大特征数。倾斜观测的特征数用γ表示，它与洛夫数的关系为：γ=1+k-h ，此特征数永远小于1，一般在0.6～0.7之间，故又称为缩小特征数。
由此，地面上观测到的固体潮引起的重力变化为：
。地面上观测到的固体潮引起的地面倾斜变化的南北和东西分量为：
它们表示观测点上的实际垂线和理论垂线的偏差。此外，l与k的另一个线性组合为：Λ=1+k-l。固体潮引起地面点的纬度和经度变化分别为：
它们表示当地垂线与地球自转轴间倾角的偏差。地面固体潮水平位移S嗗 和S懁可由下式表示：
(南北分量)，
。上述的观测数据都可用精密的仪器进行测量。例如，重力变化可用高精度重力仪观测。倾斜变化多用水平摆观测。固体潮水平位移可用伸缩仪观测。由于各种固体潮的数值甚微，且需要通过连续观测才能获得，所以观测仪器必须具有很高的精度，能够自动连续记录观测结果，同时还必须尽可能消除各种外界干扰因素。
清除干扰 固体潮观测所受到的最大的外界干扰因素来自海潮的影响，称为间接效应。这种影响表现在3个方面：①海水质量所引起的引力变化；②在海潮的负荷作用下地壳产生的形变；③由于这种形变而产生的附加引力位。海潮和固体潮的产生都是由于日、月引力，其周期完全相同，因此采用一般的数学解算显然无法把二者分开。如果准确知道海潮负荷的大小及其作用规律，则通过计算可把海潮影响从固体潮中扣除掉。为了解决这个问题，60年代以来，发展了负荷潮汐形变理论。它研究固体地球在地球表面负荷作用下的形变。朗曼（I.M.Longman）及随后的法雷尔(W.E.Farrel，1972)认为，如果地球的表面负荷也同日、月引潮位一样，用一组叫做负荷潮汐洛夫数k′、h′、l′的参数表示，可据此推导出全部计算公式。为此必须具有精确的海潮图。海潮图是一种绘有等潮线（即潮高相等的曲线）的图，通常采用经验方法或解算海潮拉普拉斯方程求得。但目前精度还较低，不同作者所假想的边值条件不同，其结果也相差很大。1970年，美国的郭宗汾提出利用重力固体潮观测反演海潮图的方法。他的试验是根据大陆和岛屿上进行的重力潮汐观测加上海岸验潮站的观测，应用线性规划求逆的方法，求出大洋的海潮图，并把此图与设在海底的验潮站观测结果相比较，以证明其方法有的效性。这一思想受到国际上的重视。郭宗汾对东北太平洋和北大西洋西部进行了试验，收到了预期的效果。随后比利时的梅尔基奥尔(P.Melchior)开始其环球的重力剖面测量，从欧洲开始，直到南太平洋，试图以此来检验现有一些海潮图在大西洋、北海、印度洋、南中国海和南太平洋的有效性。
数据处理 在固体潮的研究中，有两方面的数据。一方面是实际观测的数据，另一方面是理论计算的数据。它们都是引潮力位塐 的导数。引潮力位完全可根据公式精确地算出。所以，上述的理论数据也是可知的。实测数据（经过必要的修正）与相应的理论值之比，就是所要推求的特征数δ或γ、或Λ等。引潮力位是月球和太阳的共同作用产生的，在理论值的计算中，常把月球和太阳分开来处理，并且将每个天体的计算公式分解成很多不同频率的函数，所以任一时刻的引潮力位都可分解成很多不同频率的分量之和。同样，实际的观测值也必须分解成不同频率的分量，然后以相同频率的实测值与理论值比较，由此求出特征数。实测数据的分解，主要是应用调和分析方法，也就是应用滤波技术，将一段时间内的观测数据序列按不同频率的分量逐步地分离开来。
观测值与理论值的差异有两方面：一是振幅差，由此可求出特征数δ、γ或Λ；另一是相位差，即所谓相位滞后。这些都是研究地球内部问题的重要数据。有了特征数δ、γ或Λ，就可以求出洛夫数 k、h和l。显然，这些洛夫数也是同频率有关的。
研究成果的应用 由于受固体潮的影响，地面不停地变形，这就影响到各种测量数据的精确度。利用固体潮的理论则可以对这些精密测量结果加以改正。例如：
①绝对重力测量值是一种计量标准，精密的重复相对重力测量则是研究地壳形变的重要手段，现在重力观测的精度已达到10～20微伽的量级，而重力潮汐变化影响的最大幅度可达±130微伽。因此，在精密的重力测量中须加以改正。
②激光测距和测月技术的发展，已使测距精度达到几至十几厘米。而地面测站的垂直潮汐形变要达到30～40厘米的幅度，因此必须加以改正。对于激光测月来说，除去地球表面测站外，月面上的反射镜站也将因月潮产生形变，而且由于地球质量比月球质量大得多，这一形变量将远超过地球表面。
③卫星大地测量的发展，已可能利用安置在卫星上的雷达测高仪，测定海洋上的大地水准面差距来反求海洋面上的重力异常，测高仪的精度可达0.1～0.5米。因此，在考虑测高瞬时海洋潮汐的影响时，也应顾及固体潮对海潮的影响。
④除地球引力场、日月引力及大气阻力外，固体潮的变化对卫星的轨道也有摄动作用，所以在卫星的轨道设计中必须顾及这一影响。
长期以来，人们就知道地球的自转是不断减慢的。古生物学家对珊瑚年轮的研究表明，日长是不断增加的，例如在距今约4.25亿年的志留纪，每年有407天，即那时1天的长度只合现在的21.5小时，而在2.8亿年前的二叠纪则为22.8小时，平均计算每10万年日长增加2秒。从古代历史的日食记载及近 200年日食观测所推算的结果与此大致相同。
固体潮研究与日长的长期变化有密切关系。固体地球是一个滞弹性体，因此固体地球对引潮力的响应将有一个滞迟。例如，当天体（月球或太阳）在中天时刻，并不就是出现高潮的时刻。因为固体地球的粘滞性将使得它在受引潮力作用而起潮时受到潮汐摩擦，从而使潮汐的起落落后于引潮力的变化。由于固体潮汐摩擦所消耗的能量比率与地球的相位滞后角（可以从近代精密的重力潮汐观测中求出）成正比，从而可推得地球自转长期减慢的量级。据梅尔基奥尔从受海潮间接影响较小的潮波的观测结果得出，滞后角约为1°左右，这样就使每10万年日长增加2秒。帕里斯基(П．Парийский)经过对最新海潮图的改正得出的结果为每 10万年日长增加3.8秒。
地球在引潮力作用下的弹性形变，造成地球内部质量的重新分布和地球主惯性矩的变化。这个变化量同代表附加位变化的洛夫数k有关，并且主要来自引潮力位中的长周期项，从而使地球自转速度伴随有周期性的变化。其中对于18.6年周期，幅度可达154.5毫秒；对于半年周期，幅度为4.6毫秒；而1年周期的幅度为1.5毫秒。这些数值在天文测时精度日益提高的今天，已经能够观测出来。因此，一方面在测时结果中应顾及和消去这种周期性影响，另一方面又可从长期的测时结果中反求出洛夫数k值。
固体潮和天文学之间的一个重要联系是关于地球自转轴在惯性空间运动的问题，即岁差、章动现象。它和全日潮都是由同一个外力矩产生的。但因为章动是地球自转轴在一惯性系统中的运动，固体潮则是在固定于地球上的测站上观测的，地球以角速度ω=15.041度/小时旋转，所以，天文章动的频率和全日潮频率要差一个“恒星频率”。据此，全日潮中频率ω=15.041度/小时的K1波就相当于章动频率为零的长期项，即天文上50.2″的岁差，频率与K1波频率相对称的一对潮波，就产生天文章动项，其振幅完全可由引潮力位展开的振幅算出，这样，固体潮中的全日潮波展开项和天文章动项可以一一对应起来。
从天体力学角度探索章动问题，主要分量有18.6年周期、幅度为9.22″的长期项，0.55″的半年项，以及0.09″的半月项等。按现代天文测量的精度，半月项就很难由观测数据中分析出来，但与此相对应的潮波则有可能从重力仪和倾斜仪分辨出来。因为这些仪器都具有能连续观测和高精度的优点。
近几十年来，人们还企图从固体潮方面来研究地球核的物理状态问题。因为对于给定的一种地球内部模型，从理论上可算出地面上应观测到的洛夫数k、h、l，不同的地球模型可以有不同的洛夫数。这种从理论模型推算出的值同实际地面观测的值相比较，就可以鉴别所假设的地球模型是否符合实际。现在从固体潮研究中可以得出如下的结论，即由地核的μ=0或μ=0.6×10-12所推得的洛夫数与实际较为接近，由此可见，地核完全有可能接近液态。
参考书目
方俊：《固体潮》，科学出版社，北京，1984。