映射(卷名：数学)
mapping
又称映照，数学基本概念之一，通常函数概念的推广。设A和B是两个非空集（见集合），如果按照某一法则，使A中的任一元素x和B中的某一元素y（可因x而异）相对应，就称该规则为一个从A到B的映射。例如A={1，2，3}，B＝｛1，2，3，4｝，那么，使1和1对应，2和1对应，3和2对应，就得到从A到B的一个映射。又如A为平面上三角形全体，B为平面上圆的全体，那么，使任一个三角形和它的外接圆相对应，也得到从A到B的一个映射。如果用一个字母，譬如ƒ，来表示某一映射，那么，映射ƒ将A映到B这一事实可表示为ƒ:A→B，其中A称为映射ƒ的定义域，记为dom(ƒ)。A中元素x所对应的B中惟一元素y称为x在映射ƒ之下的像，记为ƒ(x)。对于x∈A，所有和x相对应的y的全体组成B的一个子集，称为映射ƒ的值域，记为ran(ƒ)。两个映射ƒ和g，当且仅当它们有相同的定义域，而且对同一的x有相同的像时，才称为相等。当A，B已知时，也可通过x的像ƒ（x）来表示映射ƒ，写作x→ƒ(x)（例如x→x2）或y=ƒ(x)(例如y=x2)。特别是，对任何非空集A，映射x→x称为A到A的恒等映射，记为IA。
若干定义 设有映射ƒ:A→B，如果B=ran(ƒ)，则称ƒ是A到B的满射，或ƒ将A映到B上。如果对于B中的任一个y，至多只有A中的一个x，使y=ƒ(x)，则称ƒ是A到B的单射。如果ƒ是A到B的满射，同时又是单射，则称ƒ为A到B的双射或一一对应。例如上面第 1例中的映射既非满射又非单射，第2例中的是满射但不是单射，第3例x→x2，作为(0，∞)到(0，∞)的映射是双射。设 ƒ为A到B的双射，那么，对于B中的任一y存在A中惟一的x，使y=ƒ(x)，这个x称为y的原像，记为ƒ-1(y)。这样，当y∈B 时，y→ƒ-1(y)就确定了B到A的一个映射(它也是双射)，称为ƒ的逆映射，记为ƒ-1。显然有((ƒ-1)-1)=ƒ。设ƒ为A到B的映射，g为B到C的映射，那么，当x∈A时，可构成g(ƒ(x))，这时x→g（ƒ（x））就确定了一个A到C的映射，称为ƒ与g的复合，记为g。ƒ。复合映射的一个重要性质是，它满足结合律:
。通过复合还可得到逆映射的一个特征：ƒ-1。ƒ=IA，ƒ。ƒ-1=IB。在映射定义中的A，B可以是任何非空集。如果将A，B分别取作直幂xn，Ym的子集的话，就得到这样一个映射，它由以下的 m个映射组成
，式中
，设ƒ:A→B为一映射，当x∈A时，所有序对〈x，ƒ(x)〉组成的直积A×B的子集称为ƒ的图像，它和x，y看作坐标时的函数的图像相当。映射ƒ 可由它的图像完全确定。这样就产生了直接利用图像即某种序对的集合，来定义映射的可能性。
关系 一般而论，由序对〈x，y〉组成的非空集R嶅A×B称为A与B间的一个二元关系(仿此可定三元以至n元关系)。例如｛〈1，1〉，〈2，1〉，〈3，2〉｝（这就是上面第 1例中映射图像）便是一个二元关系的例子。又如x∈A 时全体序对〈x， x〉组成的集合给出A上的恒等关系。x，y为实数时，所有满足条件:x<y的序对〈x，y〉组成的集合<给出实数之间的小于关系。x， y为正整数时，所有满足条件：x能整除 y的序对〈x，y〉组成的集合给出正整数之间的整除关系。设R为一二元关系，<x，y>∈R，就称x与y（按照这个次序）处于关系R中，并常写成xRy（如〈xy〉∈<写成x< y）。R中所有序对的第一坐标组成的集合称为R的定义域，记为dom(R)；其第二坐标组成的集合称为R的值域，记为ran(R)。如果R的定义域和值域都是某集合A的子集（也就是R嶅A2），这时称R为A上的关系（如<便是实数集上的关系）。如果R中没有两个序对，它们的第一坐标相同而第 2坐标是相异的，就称R为单值关系。上面讲的A到B的映射ƒ也是一种单值关系，它的定义域为 A而值域包含于B。设R为任一关系，把属于它的所有序对〈x，y〉中x，y的地位互换一下，就得到序对〈y，x〉的集合，其中xRy。这是一个新的关系，称为R的逆关系，记为R-1。R-1的定义域和值域分别是R的值域和定义域。当R为双射ƒ时，ƒ-1作为关系的逆也就是作为映射的逆。设R，S为任两个关系，对于序对〈x，z〉，其中x∈dom(R)，z∈ran(S)若存在y，使得xRy，且ySz，则这种序对的全体（如不空）是一个新的关系，称为关系R与S的复合，记为S。R。当R为映射ƒ：A→B，S为映射g：B→C时，g。ƒ作为关系的复合也就是作为映射的合。