词条 | 对称核积分方程 |
释义 | duichenhe jifen fangcheng 对称核积分方程(卷名:数学) integral equation with symmetric kernel 积分方程的核K(y,y)若与其共轭核 ![]() ![]() ![]() 对称核的一切特征值都是实的。不同的特征值所对应的特征函数是正交的。对称核的特征值是可列的。对应于每个特征值的线性无关的特征函数是有限的,因此,可就对应于同一个特征值的最大个数的线性无关特征函数进行正交标准化,从而,线性无关的特征函数的全体构成一个正交标准的特征函数序列。 为了方便,通常规定一个特征值仅对应于一个特征函数(若某一特征值对应于n个线性无关的特征函数,则视该特征值有 n个)。于是可按特征值的绝对值大小排列: ![]() ![]() D.希尔伯特和E.施密特证明了关于对称方程的一个基本定理,即每个非零的对称核至少有一个特征值。设 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 设λ1,λ2…是对称核K(x,y)的一切特征值,φ1(x),φ2(x),…是相应的正交标准的特征函数序列,h(x)是[α,b]上平方绝对可积的函数,而且积分 ![]() ![]() ![]() ![]() 根据这个定理,可得到关于对称核及其叠核的展开式: ![]() ![]() 若对称核K(x,y)是连续的,则有更好的结果,即梅瑟尔定理:设K(x,y)只有有限个正的或负的特征值,则 ![]() 令 ![]() ![]() 希尔伯特-施密特展开定理还可用来解非齐次对称方程。若λ不是核 K(x,y)的特征值;则非齐次方程(1)有惟一解φ(x), 且可表为 ![]() ![]() ![]() |
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