对策论(卷名：数学)
game theory
又称博弈论，研究由一些带有相互竞争性质的个体所构成的体系的理论。一场竞争按竞争规则从开始到结束称为局。参加竞争的个体称为局中人，可以是某一个人，一个临时的联合体，一个队，一个公司，一个政治团体，一个国家，等等。若一局对策中有 n个局中人，则称此局为 n人对策。局中的一次动作(着)，是指在某一时刻要求某一局中人作出一个决定。在一局对策中，每个局中人可能有许多供选用的方案来指挥他的动作。局中人据以选取他的方案的规则称之为一个策略。若一种规则可以决定局中人选取何种方案，而不是决定局中人以多大的概率选取何种方案，则称此种规则为纯策略；而把按某种概率来选取方案的规则称为混合策略。若局中人甲有m个可供选用的纯策略：α1，α2，…，αm，则混合策略以概率向量
记之，其中xi是选用纯策略αi的概率，且
。n个局中人对局终了时各有所得（可以为正，也可以为零或负），以pi表示局中人i的所得，称为支付，则对局的结果可用数字向量(p1，p2，…，pn)表出。对策的正规形式与展开形式 一个对策的正规形式是将所给的对策化为与之等价的如下的对策：当局中人在明白了对策的规则之后，各自在相互不知道的情况下选取一个纯策略，然后将他所选的策略告诉一个毫无偏私的公正人。利用已经知道的规则，对局结果即告确定。
对策论中常用的另一种形式是展开形式，即依所给对策的特殊结构，按逻辑次序将所给对策写成一个树状图，每一个结点表示一次动作（步），从该点发出的树枝表示在该次动作可供选取的方案，这种选择可以是局中人自己决定的，也可以是依赖于某种随机规律进行的。没有树枝发出的结点为一终端，可以根据对局规则在各终端、各树枝将相应的已知信息写出，并在各终端注上各局中人的所得。显然，有了展开形式就可写出正规形式。例如，设甲、乙二人斗牌，共十二张牌，红七绿五。每人先下赌注1份，然后发牌，先发甲一张，甲看后，可以放弃，也可以增加赌注3份再斗。若甲放弃，则对局结束，此时若甲持红牌则赢1份；若持绿牌则输1份。倘若甲要斗，则乙须考虑是相拼，还是认输。若乙认输，则甲赢1份；若乙相拼，则亮牌：甲为红牌时甲赢4份；甲为绿牌时乙赢 4份。以上过程可写成展开式如下图。
显然，甲可能采取的策略有四：不管持牌是红是绿皆斗（记为α1）；拿红牌时才斗（记为α2）；拿绿牌时才斗（记为α3）；不管是红是绿皆放弃（记为α4）。乙的策略则为:相拼（记为β1）和认输（记为β2）。于是，相应于展开式可得出正规形式：
容易算出此矩阵，例如对于(α3，β1)，甲拿到绿牌的概率为5/12，此时乙要相拼;甲拿到红牌的概率为7/12， 此时甲放弃，甲的期望所得为和数
，此即表示甲、乙在互不知道的情况下，若甲选取的策略是α3(拿绿牌时才斗)，乙则选取β1(相拼)，其结果是甲的期望所得为－13/12。二人零和对策 它是对策论中最简单而结果最为完整的部分。此时n=2，p1+p2=0，即甲的所得（失）是乙的所失（得）。设甲可供选用的策略共有 m种：α1，α2，…，αm；乙有n种：β1，β2，…，βn。当甲采用αi乙采用βi时，甲的所得为αij（乙的所得为-αij），则此对策可用矩阵
表示，并记为A=αij，因此又称为矩阵对策。一局对策的解，是指求出“明智的”局中人所采用的最优策略以及在此策略下的所得。若甲是"明智的"，则会认为当他采取策略αi时乙必采取使
的策略
，因而当甲在考虑策略时所选取的i0，应使
。同理，当乙考虑策略时所选取的j0，应使
。容易证明，
，若等号成立，则称此局对策有一鞍点，或有一纯策略解，但并不是每局对策皆有纯策略解。例如关于对策
，上式的等号不成立。混合策略 若甲与乙分别采取策略x与у，则其所得分别定义为
与
，其中xi、yj是x与у的分量。设x(Y)为所有概率向量x(у)组成的集，亦即甲（乙）的全部策略。若存在x
∈(X，y∈Y，使得
对所有x∈X，у∈Y皆成立，则称(x
，у)为此局对策的一个鞍点。这里xT表示向量x的转置。对于混合策略来说，鞍点总是存在的，因由极小极大定理，对于任一矩阵对策A，总有
。若(x
，у)是矩阵对策A关于混合策略的一个鞍点，则定义x(у)是甲（乙）的最优策略。x和у可以利用线性规划来寻求。二人非零和对策 它的定义是:设n=2，且p1+p2≠0，意即甲的所得（失），并不一定就是乙的所失(得)。它与零和对策的主要差别是：对甲是好的策略，对乙不一定就是坏的。因此两个局中人不一定全是对抗的，他们可以暴露自己的策略，使双方同时受益。对于非零和对策，有两种情况必须分开处理：非合作对策与合作对策。前者是指不许事先互通信息，不许结盟，不许搞联合对策等；后者则不受此限制。
若局中人甲的所得可表示为A＝(αij)，乙的所得可表示为B＝(bij)，A、B皆为m×n矩阵，则此种对策称为双矩阵对策。
非合作对策的基本理论是在纳什平衡点概念的基础上建立起来的。设存在甲的一个混合策略x
和乙的一个混合策略у，使得对于所有混合策略x、у皆有
则（x
，у）称为此对策的一个平衡点。可以证明，任何双矩阵非合作对策皆有平衡点。平衡点不一定是惟一的，也不一定是使双方的所得是最好的，例如取
，容易证明{（0，1），（0，1）}是一个平衡点，它对应的所得为(1，1)，但它显然不如{(1，0)，(1，0)}对应的所得(α11，b11)=(2，2)来得好，而{（1，0），(1，0)}并不是平衡点。此时，甲、乙两者的所得较多。因此，二人非零和对策的解必须再考虑别的因素。若两向量x与x′满足关系xi≥x媴(i=1，2，…，n)，则称x控制x′。若对二人非零和对策，存在一平衡点所对应的所得控制所有其他的平衡点对应的所得，则定义该平衡点为此对策的解，但这种点并不总是存在的。n人对策 对于非合作对策来说，n人对策与二人对策在处理方法上没有本质的差别，但对于合作对策来说，其差异则很大。这主要是由于通过合作可以组成若干集团，而其重点则在于结合的方式。
特征函数是用来研究合作对策的基本概念之一。它是一个实值集函数v(S)，这里S为N={1，2，…， n}的一子集。v(S)应满足下列条件:①v(═)=0，═表示空集。②v(S∪T)≥v(S)+v(T)，对于所有满足S∩T=═的N的子集S与T皆成立。N中的元素表示局中人，N的子集表示集团。条件②保证合作比不合作优越。合作对策的另一个基本概念是分配。所谓分配，是指具有下述性质的向量
，
:对于所有的i∈N，xi≥v({i})；
，即必须保证每一入伙的人，通过加入集团所得不低于单干所得。设x与у是两个分配，若对于任一S嶅N有
，且xi>yi，对所有的i∈S成立，则称x控制了у。关于合作对策的解，直到现在还没有一个完全令人满意的定义。常见的定义有冯·诺伊曼-莫根施特恩解与沙普利解。前者是指由一些分配所成之集 P满足条件：① P中任何两个分配之间不存在控制关系。 ② 对任何Z唘P必存在x∈P控制了Z。此种P不一定存在。后者基于从 N 的子集到n维空间（所得）的一个映像
=
它满足:①对称性，即
这里
为{1，2，…，n}的一个排列，π-1S为S关于变换π的逆;②有效性，即η(v+w)=η(v)+η(w)；③
;这里v与w皆为所给对策的特征函数。可以证明，只有一个值满足这三个性质，即
，这里n是S中局中人的个数，
表示只就N中所有不包含i的子集S求和。此外，作为解的还有核心、核、核仁等。由于与合作对策有关的不少问题尚未解决，在目前的对策论研究中，合作对策居于重要位置，研究合作对策的解的定义仍是深受注意的课题。
微分对策 对策这一概念有许多推广，微分对策是其中之一，而且出现较早，发展也较成熟。前面所述的对策是局中人每走一步要作一次决定的离散情况。微分对策是局中人在每一时刻 t皆要作出一个决定的连续情况，例如，追逃问题。追赶的和逃跑的每时每刻皆要作出某种选择。设在时刻t，对局的状态变量(例如位置、方向、速度等)为
。设在此时，局中人甲选取的策略(方向、速度等)为 
，于此，φi为t 的函数，一般可设
是常数；局中人乙选取了
， 亦满足类似关系。φ和Ψ称为控制变量（策略），它们按照微分方程组
，控制状态变量的运动。当状态变量到达某一给定的闭集b时，对局即告结束。作为对策的支付，可以有几种不同的形式。常用的有两种：一为局终支付；一为积分支付。若对局是从t=0时开始，t=T时终止，此时状态变量的值为y1，y2，…，yn，则局中支付为一定义在b上的函数g(y1，y2，…，yn)，而积分支付则为
，K为某一给定的函数。通过某种方程 (主要方程)寻求最优的φ 和ψ，是微分对策的基本课题之一。简史 对策论这一概念的引入虽然可上溯到20世纪20年代，但是给以系统的研究，是由J.冯·诺伊曼和O.莫根施特恩开始的。他们合著的《竞赛论与经济行为》一书是一本奠基性的著作，书中主要考虑经济方面的应用，认为经济斗争是最容易数量化的。在第二次世界大战中及其稍后，对策论曾被用来考虑军事问题，希望用数学方法来处理策略这一概念。以后，对策论被应用于经济问题以及一些社会科学中的问题，例如心理学（研究交易与协商的作用和性质）、政治学（各政治力量之间的联合作用）。近年来，数理经济学、特别是关于竞争平衡性问题、经济的增长问题、资本的积累问题，等等，在其发展中受到对策论的很大影响。
参考书目
J.冯·诺伊曼、O.莫根斯特恩著，王建华、顾玮琳译：《竞赛论与经济行为》， 科学出版社，北京，1963。(J.von Neumannand O.Morgenstern，Theory of Games and Economic Behavior， Princeton Univ.Press， Princeton， 1953.)
J.C.C.麦克金赛著，高鸿勋等译：《博弈论导引》，人民教育出版社，北京， 1960。(J.C.C.Mckinsey，Introduction to the Theory of Games， McGraw-Hill，New York， 1952.)
R. D. Luce and H. Raiffe，Games and Decisions，John Wiley & Sons， New York， 1957.
R.Isaacs，Differential Games， John Wiley & Sons，1965.
中国科学院数学研究所二室编：《对策论（博弈论）讲义》，人民教育出版社，北京，1960。