词条 | 奇异积分方程 |
释义 | qiyi jifen fangcheng 奇异积分方程(卷名:数学) singular integral equation 通常是指带有柯西核的奇异积分方程,它的一般形式是 ![]() ![]() 研究柯西型积分 ![]() ![]() 借助于所谓希尔伯特边值问题的标准解,方程(3)的解可以通过积分表成明显形式,这对于研究方程(1)的一般理论起着很重要的作用。为了讲清楚问题还必须引入指标的概念。把整数 ![]() 区别指标的不同情况,有以下结论。①如果k>0,那么齐次方程k0φ=0刚好有k个线性无关解。②如果k≤0,那么齐次方程k0φ=0没有非零解。③如果k≥0,那么非齐次方程k0φ=ƒ对右端任意ƒ都是可解的。④如果k<0,那么非齐次方程k0φ=ƒ可解的充分必要条件是它的右端ƒ满足-k个条件: ![]() 研究一般奇异积分方程 (1)的重要方法之一是把它正则化(这时,奇异积分的换序公式将起重要作用),所谓正则化就是把它归结为一个在一定意义下与之等价的弗雷德霍姆积分方程。于是,类似于弗雷德霍姆备择定理,对于方程(1)可以证明以下定理(通常统称为诺特定理): 定理Ⅰ 方程(1)可解的充分必要条件是满足关系式 ![]() ![]() ![]() 定理Ⅱ 齐次方程φ=0之线性无关解的个数k与相联齐次方程′ψ=0之线性无关解的个数k′之差刚好等于算子的指标k,即k-k′=k。 在奇异积分方程(1)中代替柯西核 ![]() ![]() 奇异积分方程的许多理论结果可以推广到奇异积分方程组上去,这只需要把方程(1)中的α(t)、b)(t)、K(t,τ)理解为函数矩阵,而ƒ(t),φ(t)理解为函数向量。 多维区域上某些类型的奇异积分方程以及非线性奇异积分方程理论近年来也都得到了相应的发展。 |
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