词条 | 曲线 |
释义 | quxian 曲线(卷名:数学) curve 微分几何学研究的主要对象之一。直观上,曲线可看成空间质点运动的轨迹。曲线的更严格的定义是区间[α,b)]到E3中的映射r:[α,b)]→E3。有时也把这映射的像称为曲线。具体地说,设Oxyz是欧氏空间E3中的笛卡儿直角坐标系,r为曲线C上点的向径,于是有 ![]() ![]() ![]() 曲 线 的 局 部 性 质曲线论的基本公式 设正则曲线C的参数方程为r=r(s),s是弧长参数,p(s)是曲线C上参数为s即向径为r(s)的一个定点。Q(s+Δs)为C上邻近p的点,Q沿曲线C趋近于p时,割线pQ的极限位置称为曲线C在p点的切线。过p点与切线垂直的平面称为曲线 C在p点的法平面。曲线C在p点的切线及C上邻近点R确定一个平面σ,σ的极限位置称为曲线C在p点的密切平面,它在p点的法线称为曲线C在p点的次法线,曲线C在p点的切线和次法线决定的平面称为曲线C在p点的从切平面。p点的法线称为曲线C在p点的主法线(图2)。 ![]() 以"·"表示关于弧长参数s的导数,并且设 ![]() ![]() 曲线 C的每一点都有弗雷内标架。为研究曲线上两个邻近点上弗雷内标架之间的变换关系,要讨论t(s)、n(s)和b(s)关于s的导向量,它们可由标架向量线性表出,这就是下述曲线论的基本公式(弗雷内公式): ![]() 曲率 曲率 ![]() ![]() 挠率 挠率 ![]() ![]() ![]() 若p0(s0)点的曲率和挠率均不为零,取p0为原点,曲线的切线、主法线和次法线为坐标轴,在p0附近,曲线可近似地表示为: ![]() ![]() 曲线论的基本定理 曲线的弧长s、曲率k(s)和挠率τ(s)是运动的不变量。反过来,曲线的曲率和挠率也完全决定了曲线的形态。具体地说,如果给定了两个连续函数k(s)>0和τ(s),s∈[α,b)],则存在以k(s)和τ(s)分别为其曲率和挠率的曲线,并且这些曲线经过空间的一个运动可以互相叠合。 特 殊 曲 线平面曲线 挠率恒为零的曲线为平面曲线。设Oxy为欧氏平面E 2的笛卡儿直角坐标系,则平面曲线C的参数方程为r=r(s)=(x(s),y(s)),s为弧长参数,弗雷内公式可写成 ![]() ![]() ![]() 螺线 C为挠曲线,若其曲率和挠率具有固定比值,称为螺线。它的特征是切线与一固定方向作成定角。特别,如果曲率和挠率均为非零常数,那么C是圆柱螺线,即它在圆柱面上且与直母线作固定角。它是质点绕一条直线(螺旋轴)等速旋转且又沿这轴线方向等速移动时的轨迹。 贝特朗曲线 挠曲线C若满足λk(s)+μtau;(s)=1,其中λ、μ为常数且λ>0,称为贝特朗曲线。这样的曲线可与另一条曲线 ![]() ![]() 渐缩线与渐伸线 曲线C1的切线为另一条曲线C2的法线,则C1称为C2的渐缩线或渐屈线,C2称为C1的渐伸线或渐开线。可以证明与齿廓曲线为渐伸线的齿轮相啮合的齿轮的齿廓曲线也是渐伸线,通常齿轮的齿廓曲线都采用圆的渐伸线。 曲 线 的 整 体 性 质以曲线的全部或确定的一段作为研究对象时,就得到曲线的整体的几何性质。设曲线C的参数方程为r=r(s),s∈[α,b)],s为弧长参数,若其始点和终点重合r(α)=r(b)),这时曲线是闭合的,称为闭曲线。若它在这点的切向量重合,即r′(α)=r′(b)),且自身不再相交,则称为简单闭曲线。对于正则闭曲线C,把它的切向量t(s)的始点放在原点,t(s)的终点轨迹是单位球面上的一条闭曲线,它称为曲线C的切线像或切线标形。C的切线像的长度为 ![]() ![]() 芬切尔定理 正则闭曲线C的全曲率 ![]() ![]() 法里-米尔诺定理 简单正则有结空间闭曲线(图5 ![]() ![]() ![]() 闭曲线C的挠率τ(s)沿自身的积分 ![]() 设 C为平面正则闭曲线,则当点绕C一周时,曲线C的切线像t(s)将在单位圆周上绕若干圈,这个圈数ir(以逆时针向环绕时圈数为正,顺时针向时为负)称为C的旋转指标(图6 ![]() ![]() 将平面上一条定长的细绳首尾相接而构成一条简单闭曲线,它把平面分成以其为公共边界的二个部分,它所围成的区域的面积为最大时,其形状是圆周。有如下更精确的结论:设曲线C是长度为L的平面正则简单闭曲线,A是C所围区域的面积,那么L2-4 ![]() ![]() 参考书目 苏步青等编:《微分几何》,人民教育出版社,北京,1979。 吴大任编:《微分几何讲义》,第4版,人民教育出版社,北京,1981。 M.P.Do Carmo,Differential Geometry of Curves and Surface,Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1976. |
随便看 |
百科全书收录78206条中英文百科知识,基本涵盖了大多数领域的百科知识,是一部内容开放、自由的电子版百科全书。