微分动力系统(卷名：自动控制与系统工程)
differential dynamical systems
系统科学的一个数学分支。主要研究随时间演变的动力系统的整体性质及其在扰动中的变化。微分动力系统的研究始于20世纪60年代初，其前身为常微分方程定性理论和动力系统理论。随着对非线性力学问题研究的深入和系统科学各分支的形成，微分动力系统越来越成为有关学者关注的新兴学科领域。
动力系统 研究随时间演变的系统的一门分支学科，又称动力学系统、动态系统。它的研究对象是一系统的所有可能状态构成的状态空间R,以及由R 中的变换组成的演变规律
φt： R →R (－∞＜t＜∞)这意味着系统的某一状态x(可写作x∈R)在时刻t遵循这一规律演变为状态 φt(x)。演变规律一般需满足下述三个条件，即：①
； ②
；③φt(x)是t和x的连续函数。为了能够满足③中对初值x的连续性，状态空间R应具有拓扑构造，例如R是欧几里得空间或是它的子集。通常，在客观事物的建模过程中，这种要求是能得到满足的。若在一拓扑空间 R上存在变换φt:R →R(－∞＜t＜∞)满足条件①～③,则x、R 和φt所描述的系统就称为拓扑动力系统，简称动力系统。经过每一给定点x∈R有一条轨道，它是由所有诸点φt(x)(t∈(－∞,∞)) 所组成的集合{φt(x)|t∈(－∞,∞)}。R被分成互不相交的轨道的集合,呈现为这一动力系统的相图。若一条轨道仅含一个点，则该点称为奇点或休止点。对于某一数t0＞0及所有的0＜t<t0，若某一条轨道P上有点x0满足
,则P 称为周期轨道。奇点和周期轨道在相图中处于特殊的地位。动力系统的研究方法一般是定性的,并关心整体性,着重于轨道彼此间的关系。例如，一点x∈R，如果它在R 中的每一邻域N都有域回归性,即恒有充分大的t使N∩φt(N)(即N 集与φt(N)集的交集)非空, 则该点叫做非游荡点。所有这些非游荡点构成R中的一个闭子集Ω,叫做非游荡集,它在变换φt(-∞＜t＜∞)下保持不变,即φt(Ω)=Ω，t∈(－∞,∞)。相图中除奇点和周期轨道上的点以外,还存在非游荡点，这是造成相图结构复杂性的重要根源。微分动力系统 如果R为n维欧几里得空间En，或更一般地是其中的一开子集G,且φt(x)恒对t可微:dφt(x)/dt=s(φl(x)),则称这动力系统由常微分方程组dx/dt=s(x)或常微系统s所产生。相反地，如果G上已给有一常微系统s满足适当条件,例如它是C1的(即对x∈R有连续的一阶偏导数),则根据常微分方程基本理论，常微系统s过每一点x∈R 都在一相应的最大实数区间上有解（以该点为初值），从而产生一动力系统。同样的讨论可施加到R为一n维光滑流形Mn的情况，从而得出Mn上的常微系统和微分动力系统。Mn上的常微系统也等价于说它是Mn的切向量场。例如2自由度的哈密顿系统与它的3维能量曲面相切，就是这种切向量场的一例。
若Mn是紧致的（即从Mn的任一开覆盖恒可取一有限子覆盖,例如球面、环面这样一些闭曲面）,则Mn上任一C1常微系统X恒产生一动力系统，并且Mn上所有C1常微系统将以自然方式构成一巴拿赫空间X(Mn),具有C1模
1。
1充分小意味着X在每一点x∈Mn处就给定的局部坐标系来说，其向量长度和雅可比方阵的模也都充分小。20世纪80年代中后期,关于微分动力系统的研究,在紧致流形下得出的成果是最丰富的部分。下面讨论的Mn为紧致情况，有的可类推至非紧致情况。任给s∈X(Mn),设它（所产生的动力系统）的轨道、相图、奇点、周期轨道和非游荡集 (记作Ω(s))等如前。如果s在奇点a处（就局部坐标系来说）的雅可比方阵的所有特征根实部都不为零,则称这奇点为双曲的。设P是s的一周期轨道,取Mn中一n-1维子微分流形B构成P在其上一点处b的截痕。则从B上邻近于b的点出发的轨道第一次再交于B,就给出B上绕b处的一局部C1微分同胚g。如果g在b处的雅可比方阵的所有特征根绝对值都不等于1，就称P为双曲的。
结构稳定 微分动力系统研究自60年代初兴起以来，到80年代已成为动力系统研究中一个非常活跃的部分。它所取得的成果比起19世纪末叶由H.庞加莱开始的，而在20世纪前期又由G.D.伯克霍夫等人扩展的常微分方程定性理论和动力系统来，已有质的不同，其特点主要表现在整体性的扰动问题上，首先在所谓的结构稳定性上。
Mn上一C1常微系统s，如果它的C1小扰动不改变它的相图的拓扑结构，确切地说,即如果s在X(Mn)中有一邻域Γ，使得只要X∈Γ，即有拓扑变换 Mn→Mn把s的轨道映至X的轨道，就认为S是结构稳定的。
早在1937年，苏联科学家A.A.安德罗诺夫和Л.庞特里亚金已对于平面圆盘上某类常微系统提出结构稳定的概念，并在它们是解析系统的情况下叙述了结构稳定的充分必要条件。但只有在过了20多年，M.佩肖托重新考虑原有的成果,给出稠密性定理,并推广到闭曲面上，从而得出X(M2)中每一系统都可以用具有较简单相图构造的结构稳定系统来逼近这一结论后，它才引起人们认真注意。
当初，佩肖托证明的稠密性定理指出，X(M2)中有稠密子集，由结构稳定系统组成。他证明的特征性定理指出：X(M2)中一系统是结构稳定的，当且仅当它们的非游荡集仅由有限个数的双曲奇点和双曲周期轨道组成，且没有鞍点联结，即没有过常点的轨道正向和负向都趋近于鞍点。在Mn维数高的情况下，结论要复杂得多。60年代初逐渐形成的大范围分析的数学分支（一种较多地渗透了几何、拓扑思想的，流形上的分析学），为此提供了一种有用的研究工具。
与2维情况不同,当n≥3时，X(Mn)中一结构稳定系统有时可能有无限多个周期轨道。将60年代初期出现的斯梅尔马蹄或托姆环面自同构通过所谓扭扩的办法即可得出这种3维情况的例子。当n≥3时,X(Mn)也不一定有由结构稳定系统组成的稠密子集。
双曲构造 设s∈X(Mn)在Mn上产生的动力系统为φt(－∞＜t＜∞)。由于s是C1的，可考虑微分dφt在Mn的切丛T(Mn)上给出的动力系统。
dφt：T(Mn)→T(Mn) (－∞＜t＜∞)任取定Mn上一黎曼度量。Mn中一闭子集對叫做s的双曲集或称s在對上有双曲构造,如果對在φt(－∞＜t＜∞)下不变，且部分丛TΛ(Mn)有直和分解
TΛ(Mn)=F-嘰{S|對}嘰F+其中{s|對}由s|對产生,而F-和F+都在dφt下不变,且存在数λ＞0及σ＜0，使得
||dφt(u)||≤λ||u||exp(σt) 对u∈F-及t≥0， ||dφ-t(u)||≤λ||u||exp(σt) 对u∈F+及t≥0。對的双曲性质与Mn上的黎曼度量如何选取无关。例如,前面提到的双曲奇点和双曲周期轨道也正是这里所指的双曲集。若Q是S的轨道包含在S的一双曲集内，则
(其中dist表示Mn上一拓扑度量)都将是Mn中的C1浸入子微分流形，分别称为Q 的稳定流形和非稳定流形。曾经有一种推测认为,S 结构稳定,当且仅当它满足①公理A:S 在非游荡集Ω(S)上有双曲构造，且Ω(S)有由奇点和周期轨道构成的稠密子集；②强匀断条件：若Q1和Q2是S 的轨道嶅Ω(S)，则W-(Q1)与W+(Q2)恒匀断相交，这意味着W-(Q1)和W+(Q2)在任一x∈W-(Q1)∩W+(Q2) 处的切空间张开成Mn在x处的切空间。这一推测是前述2维特征性定理的推广形式，它的充分性部分早已由C.鲁宾孙验证。关于必要性部分的证明主要须证明S在Ω(S)上有双曲构造，目前尚只在低维情况下有部分答案。
另一种重要的稳定性是所谓Ω稳定性。S 叫做Ω稳定的，如果它在X(Mn)中有一邻域Δ，使得只要X∈Δ，即有从Ω(S)到Ω(X)上的拓扑变换，把S在Ω(S)中的轨道映到X的轨道。若S是Ω稳定的,则它是否在Ω(S)上有双曲构造，这个问题也还只有部分答案。显然，结构稳定蕴涵Ω稳定。若n≥3，X(Mn)一般也没有由Ω稳定系统组成的稠密子集。
关于这方面的研究，一个有用的工具可能是所谓联系于X∈X(Mn)的阻碍集Ob(X)。例如,s满足公理A和强匀断条件，当且仅当I(S)∪Ob(S)是空集,其中I(S)表示S的奇点集合在Mn中的内集。若Ob(S)非空,则存在关于S的极小歧变集。
离散系统 设Diff(Mn)是Mn上由所有C1微分同胚组成的集合,取C1拓扑。对于f∈Diff(Mn)所产生的离散系统，可以与常微系统情况相平行地引入一些概念。例如f过一点x∈Mn的轨道是{fp(x)|p＝0,±1,±2,…}。如果f在Diff(Mn)中有一邻域K，使得只要g∈K，就一定可找到一拓扑变换η:Mn→Mn满足ηf=gη,则称f为结构稳定的。
文献上先出现有关微分同胚所产生的离散系统的论述，然后再扩充到常微系统，这种情况是颇为常见的。例如上述关于结构稳定的推测原是帕利斯和S.斯梅尔先就微分同胚提出，其充分性的验证也是J.罗宾先就C2微分同胚给出，然后经他人推广到常微系统。但用扭扩办法，从有关常微系统的成果也常可直接导至离散系统的成果，把后者作为前者的特例来处理。关于离散系统的研究也已延伸至半离散系统。
进展 在微分动力系统的研究中，关心的是系统的性质（主要是整体性质）及其在扰动中的变化。在研究结构稳定与Ω稳定的同时,人们发现s∈X(Mn)的相图不仅可能很复杂，而且在扰动中又可能变化多端，不管是随机的还是确定性的，当S 有一邻域不含有任何Ω稳定系统时，更显得有此可能。这反映了自然界的一些混沌现象，因而受到关注。因此,从洛伦茨方程到吕埃尔-泰肯引进奇异吸引子概念，从费根鲍姆常数到倍周期分岔等一系列成果，推动了这个领域中计算机仿真、科学实验和数学论证三方面相结合的研究。
70年代末以来，中国科学家钱学森致力于系统学和系统科学体系的建立。微分动力系统的理论成果可以为这一体系的形成作出贡献。作为系统科学的一部分，微分动力系统这一数学分支须考察怎样和其他部分相配合。在这方面微分动力系统尚处于亟待发展的阶段。
参考书目
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