词条 | 微分流形 |
释义 | weifen liuxing 微分流形(卷名:数学) differentiable manifold 一类重要的拓扑空间。它除了具有通常的拓扑结构外,还添上了微分结构。微分几何学的研究是建立在微分流形上的。三维欧氏空间R3中的曲面是二维的微分流形,但微分流形的概念远比这广泛得多,非但维数不限于二维,而且流形也不必作为n维欧氏空间Rn中的曲面来定义。此外,一般微分流形也不一定有距离的概念。 具体说来,设M是一个豪斯多夫拓扑空间。U是M的开集,h是U到n维欧氏空间Rn的开集(常取为单位球内部或立方体内部等等)上的一个同胚映射,则(U,h)称为一个坐标图,U称为其中点的一个坐标邻域。设M为开集系{Uα}所覆盖,即 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 如果微分流形M是一个仿紧或紧致拓扑空间,则称M为仿紧或紧致微分流形。如果可选取坐标图册使微分流形M中各个坐标邻域之间的坐标变换的雅可比行列式都大于零,则称这个流形是可定向的。球面是可定向的,麦比乌斯带是不可定向的。 同一拓扑流形可以具有本质上不同的C∞微分结构。J.W.米尔诺对七维球面S7首先发现这个事实, 他证明七维球上可有多种微分结构。近年来,M.弗里得曼等得出如下的重要结果:四维欧氏空间中也有多种微分结构,这与 n(n≠4)维欧氏空间只有惟一的微分结构有着重大区别。 微分流形上可以定义可微函数、切向量、切向量场、各种张量场等对象并建立其上的分析学。以下的叙述对于Ck流形(k任意)也成立,但是,为了简单起见,仅就M为C∞流形来叙述。 可微函数 设p∈U,ƒ是M上点p的邻域中定义的实值函数,(U,h)是C∞坐标图。如果函数ƒ。h-1:h(U)嶅Rn→R在h(p)点是r次连续可微的,则称ƒ在点p是Cr函数。这个定义与C∞坐标图的取法无关。如果在M上所定义的实值函数ƒ在M的各个点都是Cr的,则称ƒ为M上的Cr函数。M上的C∞函数全体组成一个实线性空间,记为F(M)。 切向量 设p∈M,M在点p处的一个切向量是指从F(M)到R的一个线性映射x,使得对于任意的ƒ,g∈F(M),满足: ![]() 对于在p点的切向量x1,x2和实数λ1,λ2,定义λ1x1+λ2x2如下: ![]() ![]() ![]() ![]() TP的对偶空间称为M在点p处的余切空间,记为T壩。T壩中的元素称为余切向量,也称协变向量。M的余切向量全体构成M的余切向量丛,简称余切丛,它的截面称为M上的一次微分形式。 由TP和T壩通过张量积的运算可以得到M在点p处的各种(r,s)型张量,M的(r,s)型的张量全体构成张量丛,它的截面就是M上的一个(r,s)型张量场(见多重线性代数、张量)。 可微映射 设φ是从C∞流形M到C∞流形N 的连续映射,如果对于N上的任意Cr函数ƒ,M上的函数ƒ。φ总是Cr的,则称φ是Cr可微映射,或简称Cr映射。如果φ是从M到N上的同胚,而且φ和φ-1都是C∞的,则称φ为微分同胚,此时也称M与N是微分同胚的微分流形。 映射的微分 设φ是从M到N的C∞映射。对M上点p的切向量x可以如下地定义N在点φ(p)处的切向量x′: ![]() ![]() ![]() 子流形 设M和N是两个C∞流形,φ:M→N是C∞映射。如果微分dφP在M的每一点都是单射,则称φ是浸入,而φ(M)称为N 的浸入子流形。如果浸入φ还是单射,则称为嵌入,此时φ(M)称为N的嵌入子流形。 在微分流形上还可以定义外微分形式(见外微分形式)。p次外微分形式 ![]() ![]() ![]() 设ω∈Ep且dω =0,则称ω为闭形式。M上p次闭形式的全体构成Ep的一个子空间记为Zp。设ω∈Ep,且ω=dσ(σ∈Ep-1,则称ω为正合形式。正合形式一定是闭形式。M上p次正合形式的全体也构成Ep的一个子空间记为Bp,Bp嶅Zp。商空间 ![]() 仿紧微分流形均可赋予适当的黎曼度量(见黎曼几何学),且不是惟一的。有了黎曼度量,微分流形就有了丰富的几何内容,这时称为黎曼流形。黎曼流形是微分几何的主要的研究对象。 |
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