有理函数逼近(卷名：数学)
approximation by rational functions
函数逼近论中的一个重要研究课题。早在19世纪末和 20世纪初，∏.Л.切比雪夫及C.de la瓦莱·普桑就开始研究实轴上有界区间整个实轴上有理函数的最佳逼近问题，研究了有理函数最佳逼近的存在性，惟一性以及交错点定理。以后，С.Η.伯恩斯坦、A.И.阿希耶泽尔及E.И.佐洛塔廖夫等应用切比雪夫理论解决了一系列具体函数用有理函数的最佳逼近问题。特别是左洛塔廖夫研究了在二个不同区间上具体函数的有理函数最佳逼近问题，这在滤波理论上有重要的应用。以后，在Α.Η.柯尔莫哥洛夫和C.H.梅尔捷良等影响下，A.A.贡恰尔、Ε.∏.多尔任科、A.∏.布拉诺夫、∏.∏.彼得鲁晓夫等作了很多深刻的研究。特别地，在50年代开始，他们对逼近的反问题，即从有理函数最佳逼近值趋向于零的速度来研究逼近函数的结构性质方面作了一系列的研究。以后在正问题上，即从函数的结构性质来研究有理函数最佳逼近阶的估计以及在研究有理函数最佳逼近值与多项式逼近值之间的关系与差别方面也得到了不少重要的结果。应该指出，在正问题方面，D.J.纽曼在1964年跨出了关键性的一步，他指出对│x│用n次有理函数逼近得到的阶的估计为
，大大地超过用n次多项式逼近的阶
。以后，匈牙利学者P.图兰、G.弗洛伊德等也作出了很多重要的研究。设[α，b]为实轴上的闭区间（有穷或无穷），ƒ(x)是[α，b]上的实值连续函数，令
，界是对于所有分子为n次、分母为m次的多项式之比的有理函数 Qn，m(x)取的。当 n=m时，记
， 称它为ƒ(x)在[α，b]上用n次有理函数逼近时的最佳逼近值。若m＝0，Qn(x)就是 n次多项式，此时将Rn(ƒ;[α，b])记作En(ƒ;[α，b)])，称它为ƒ(x)在[α，b]上用n次多项式Qn(x)逼近时的最佳逼近值。1964年纽曼所得到的结果为：
，式中
，而
且对于任意的偶有理函数Qn(x)，有
。由此看出，用n次有理函数逼近│x│时，逼近的阶比用n次多项式逼近时好得多。图兰在1966年指出，有理函数rn(x)的极点对称地分布在虚轴上，记作iyn，则
， 它很快地趋向于原点。正是由于这个原因，尽管函数│x│在x=0处的性质不太好，但是由于这里所取的有理函数的极点的极限点正是x=0这一点，因此在某种意义下消除了其“奇性”，得到了较好的结果。纽曼还对一般的函数类应用他的方法及结果，得到有理函数逼近阶的估计。后来，贡恰尔、布拉诺夫、∏.∏.维亚切斯拉沃夫等先后对纽曼结果作出了进一步的改进。此外，也对其他特殊函数研究有理函数最佳逼近值的上、下界估计。
对于其他一般的函数类也有很多研究，如彼得鲁晓夫得到下列二个重要的结果：
① 设ƒ(l)(x)是[0，1]上的凸函数，则
；②设ƒ(l+1)(x)是[0，1]上的有界变差函数，则上式也成立。当函数ƒ(x)是区间上的分段解析函数时，也有类似于上面的估计。
此外，还有不少研究解析函数的有理函数最佳逼近问题的工作。例如，1978年B.H.罗萨克得到一个结果。设函数ƒ(z)在|z|<1解析，在|z|≤1上连续且在|z|=1上分段(共有m段)解析，则可以找到具有极点在│z│>1中的n次有理函数Qn(z)，使
。若ƒ
(z)具有有界变差，则有
。对于反问题，用有理函数逼近与用多项式逼近所得到的结论可以是完全不同的。例如，C.H.伯恩斯坦早就证明：若
，则ƒ(x)可以从[-1，1]解析开拓到以±1为焦点，长短半轴之和为R的椭圆中去。但是对于有理函数逼近，情况可以完全不同，不管Rn(ƒ;[-1，1])以多么快的速度趋向于零，仍然不能保证ƒ(x)在[-1，1]上有很好的结构性质，更谈不上具有解析性质了。必须除去一个例外集，ƒ(x)才有较好的结构性质。有人还将这些结果推广到复数域中去。如果想要从有理函数逼近的速度来推出函数在整个逼近的区间上被逼近函数的性质，就还需要给出有理函数极点分布的情况。这实际上也与给定极点有理函数逼近的逆定理有关了。