词条 | 有限域 |
释义 | youxianyu 有限域(卷名:数学) finite field 仅含有限多个元素的域。它首先由E.伽罗瓦所发现,因而又称为伽罗瓦域。它和有理数域、实数域比较,有着许多不同的性质。最简单的有限域是整数环Z 模一个素数p得到的商环Z/(p),由p个元素0,1,…,p-1组成,按模p相加和相乘。这p个元素的域简记为Fp,有如下性质:pα=0; ![]() 任一有限域的特征是一素数。一个特征为素数 p的有限域F仍满足上述的第一、第二两条性质,F包含一个最小的子域,由单位元素e的一切倍数0,e,2e…,(p-1)e组成,它与Z/(p)同构。因此一个特征为p的有限域总是以特征为p的素域Fp作为子域。 特征p的有限域F也是Fp上一个有限维线性空间。设维数为n,F对Fp的一基为ε1,ε2,…,εn,则F由下列pn个元素组成: ![]() ![]() ![]() ![]() 顺便指出,J.H.M.韦德伯恩于1905年证明了“有限除环必是乘法交换的”。因此,有限除环就是现在所说的有限域。 对n的每个因子d,GF(pn)有一个而且只有一个含pd个元素的子域。因此,GF(pn)的子域和n的因子成一一对应。 有限域F=GF(pn)有一个弗罗贝尼乌斯自同构 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 对于α∈F=GF(pn),规定: ![]() ![]() 对α∈F,规定: ![]() 设ƒ(x)是元素α∈F=GF(pn)在Fp上的极小多项式,ƒ(x)的次数称为α的次数,α的次数d等于[Fp(α):Fp],因而d│n。假设α≠0,则α的次数d和α在乘法群F*中的阶e有如下的关系:d是最小正整数,使得pd呏1(тode), 即α的次数等于pтode的指数。 若α(≠0)的阶等于pn-1,则α称为F的一个本原元素。它的极小多项式ƒ(x)称为(n次)本原多项式。 设g(x)是Fp[x]中一个不可约多项式, 且g(x)≠x,若存在一个最小正整数r使得 xr呏1(modg(x)),则r称为g(x)的周期。一个非零的 α∈F的极小多项式ƒ(x)的周期,等于α的阶。特别,一个n次本原多项式的周期等于pn-1。设一个不可约多项式g(x)(≠x)的周期为r,则g(x)k的周期等于rps,其中ps-1<k≤ps。 Fp[x]的一个m 次不可约多项式g(x)在GF(pn)内有根; ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Fp上一个多项式ƒ(x)(次数n≥1)的分解对现代通信有很重要的关系。在理论上它和商环R=Fp[x]/(ƒ(x))的代数结构又密切相关。令 ![]() ① Fp嶅V嶅R,V为R的一个子环而且半单,因而V是一些与Fp同构的子域 ![]() ![]() ![]() ② 令 ![]() ![]() ![]() ![]() 为了给出分解ƒ(x)的实际的计算法,还有如下性质。 ③ R有一个F自同构π:π(g(x))=g(x)p,g(x)∈R,则V就是属于π的特征值1的全部特征向量和0构成的特征子空间。于是有:a.设η∈V,g(x)为ƒ(x)的一个因式,如果g(x)凲η-i,i=0,1,…,p-1,则 ![]() 分解ƒ(x)的步骤大致如下:不妨设η1=1。用η2按a.分解ƒ(x),得到的因式记为ƒ1(x),ƒ2(x),…,ƒr(x),r≤g-1,每个ƒi(x)按b.进行检验,如果ƒi(x)含有两个或两个以上不同素因式,则存在一个ηj,j>2,使得ƒi(x)和ηj满足a.中的条件,用ηj对ƒi(x)进行分解, 如此进行下去,经有限步后,即得到ƒ(x)的全部准素因式pi(x),i=1,2,…,g,而pi(x)的分解是容易的。至于V的求得,则是属于线性方程组的问题。 判定一个n次多项式ƒ(x)是否是本原的,还没有一般的方法,只有用试算的办法去计算具体的ƒ(x)的周期之后才能作出判断。F2上 168次以下的三项或五项的本原多项式(每个次数给出一个)已经有表可查。计算出全部F上n次不可约多项式大致有两种途径,一是直接分解第2n-1个分圆多项式 ![]() 令R表示由有限域 F上的形式幂级数 ![]() ![]() 仅以线性反馈移位寄存器序列(以下简称线性移存器序列)为例,叙述如下。有限域F上一个非退化n位线性移存器序列,从一个非零初态x0,x1,…,xn-1出发产生一个输出序列 ![]() ![]() ![]() ![]() 应用n次本原多项式可以造出周期最长的n位线性反馈移存器序列。 参考书目 L.Dickson,Linear Algebraic Groups, with an Exposition of the Galois Field Theory, Dover,NewYork, 1958. A.Albert,Fundamental Concepts of Higher Algebra, Univ. of Chicago Press, Chicago, 1956. |
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