词条 | 不定方程 |
释义 | buding fangcheng 不定方程(卷名:数学) indeterminate equation 数论的一个分支,它有悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数等的方程或方程组,一般来说,其未知数的个数多于方程的个数。古希腊数学家丢番图于 3世纪初就研究过若干这类方程,所以不定方程又称丢番图方程。1969年,L.J.莫德尔的专著《丢番图方程》,较系统地总结了这方面的研究成果。近十多年来,这个领域更有重要进展。虽然如此,从整个地说,对于高于二次的多元不定方程,人们知道得不多。另一方面,不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系,在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题,这就使得不定方程这一古老的分支仍然并将继续吸引着许多数学家的注意,成为数论中重要的研究课题之一。 一次不定方程 最简单的一次不定方程是二元一次不定方程 ![]() 在17世纪,已经知道方程(1)有整数解的充分必要条件是(α1,α2)能整除 n,并当(1)有解时,可用辗转相除法来求(1)的一组解。 设(α1,α2)=1,则(1)的全部整数解可表为 ![]() 一般地,s(s≥2)元一次不定方程是指 ![]() 与二元的情形类似,方程(3)有整数解的充分必要条件是(α1,α2,…,αs)能整除n。 方程(2)的通解含一个参数,方程(3)的通解含s-1个参数。例如,在s=3时,设(α,b,с)=1,(α,b)=d,α=dα′,b=db′,不定方程 ![]() ![]() ![]() 设α1>0,α2>0,(α1,α2)=1,考虑方程(1)的非负整数解。19世纪,J.J.西尔维斯特曾经证明了:在n>α1α2-α1-α2时,(1)有非负整数解,但在 ![]() 设αi>0(i=1,2,…,s),(α1,α2,…,αs)=1,考虑式(3)非负整数解xi≥0(i=1,2,…,s)。容易证明,存在仅与α1,α2,…,αs有关的数 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 5世纪末,中国数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里提出的“百鸡问题”,就是求方程组 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 商高数 满足不定方程 ![]() 中国古代数学书《周髀算经》中曾经提到“勾广三、股修四、径隅五”这个三边都是正整数的直角三角形,因此,已经知道方程(6)的一组正整数解x=3, y=4,z=5。古希腊数学家毕达哥拉斯也给出了方程 (6)的一些正整数解。至少在16世纪以前,已经给出了方程(6)的全部正整数解。若(x,y)=d,由(6)有d│z,故可设(x,y)=1,此外,显然x和y一奇一偶。可证不定方程(6)满足(x,y)=1,2|x的全部正整数解可表为x=2αb,y=α2-b2,z=α2+b2,式中α、b为任意整数满足α>b>0,(α,b)=1,2凲α+b。 在17世纪,上述结果曾给P.de费马很大影响,导致他提出了在数论发展史上非常重要的三个定理。 ① 每一个形如4k+1的素数p可惟一地表成两个正整数的平方和,即p=x2+y2,0<x<y。 ② 每一个正整数能够表成四个整数的平方和。 ③ 不定方程 ![]() 对于第一个定理,费马说他能够用无限递降法证明,但未发表。第一个完全的证明是L.欧拉在1749年给出的,他在1773年和1783年又给出了更好的证明。特别是近代,有人把x,y具体表示了出来: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 关于第二个定理,费马的证明仍未被发现。1772年,J.-L.拉格朗日给出了第一个证明,一年后,欧拉给了一个更简单的证明。由于形如8k+7的数不能表成三个整数的平方和,因此,这是一个很完美的定理。而且,这个定理也是非常有用的,例如在组合数学里的阿达马矩阵的构造中就要用到。 费马给出了第三个定理的证明。他证明这个定理所创造的无穷递降法至今还很有用。如果 (7)有一组整数解x0,y0,z0,x0y0≠0,可设z0>0,利用方程(6)的整数解公式,可以得出(7)的一组新解x1,y1,z1满足x1y1≠0,z0>z1>1,这个方法可以继续下去,从而得到一个无穷的、严格递降的正整数序列z0>z1>z2>…,因为z0是一个确定的正整数,这当然是不可能的。 有一个关于商高数的猜想:设α、b、с是商高数,x、y、z是正整数,且满足 ![]() 佩尔方程 二次不定方程中,最简单的也是最重要的方程是佩尔方程。佩尔方程是指不定方程 ![]() 人们最先考虑的是N=1的情形,即不定方程 ![]() 设x0>0,y0>0是方程(9)的所有x>0,y>0的解中使 ![]() ![]() 只需要求(9)的最小解,它的全体解x、y也就表示出来了。最小解也可以定义为方程(9)的整数解x>0,y>0中使x最小或使y最小的解。因此,寻找(9)的最小解可以用验算的方法,令y=1,2,3,4,…,直到1+Dy2是一个完全平方时即可求出。然而,这种方法有时计算十分冗长。例如,x2-94y2=1的最小解是x0=2143295,y0=221064。也可把 ![]() ![]() ![]() 对于不定方程(8),很明显,在N=-1时,如果D含有4k+3形状的素因数,就无整数解。但是如果它有一组整数解,就有无穷多组解。可类似(9)那样定义它的最小解。如果它有最小解 x=α,y =b,那么它的全部解由 ![]() ![]() (8)在N=±4时,有类似的结果。 求出佩尔方程最小解的上界,是一个重要问题。设 ![]() ![]() ![]() ![]() 佩尔方程有许多应用。一般的二元二次方程如果有解,都可归结为佩尔方程的求解问题,甚至某些二元三次或四次的不定方程也用到它。佩尔方程一个直接的应用是可以证明:在实二次域 ![]() ![]() ![]() 二元二次不定方程 一般的二元二次不定方程可写为 ![]() 设D=b2-4αс>0,D不是一个平方数, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 不定方程αx2+by2=сz2 1785年,A.-M.勒让德证明了:若不定方程 ![]() ![]() 莫德尔方程 设k为整数,不定方程 ![]() 三个世纪以来,对不定方程(13)的研究从未停止过,众多的数学家运用各种方法研究方程(13)的整数解或有理数解。这些工作丰富和发展了数论的内容。17世纪,P.de费马宣布他发现一个美妙而精巧的方法,证明了方程y2=x3-2仅有整数解x=3。和他的许多定理一样,他的证明始终没有被发现。直到1875年,T.佩平给出了一个完全的证明:因为x扝0(mod2)和 ![]() ![]() ![]() 图埃定理 1909年,A.图埃证明了一个重要结果:设n≥3, ![]() ![]() 这个定理的证明依赖于下列的结果:设θ是一个次数n≥3的整系数不可约多项式的根,则只有有限组整数x,y>0适合 ![]() ![]() ![]() ![]() 运用丢番图逼近论的方法,1968年,A.贝克给出了方程(14)解的一个可计算的上界。他还定出了另外许多类不定方程解的上界。贝克的出色工作,曾得到1970年的费尔兹奖。 四次方程αy2=bx4+с 对于不定方程 ![]() ![]() ![]() 对于方程(17)、(18)和方程x3+b3=Dy2(b=±1,±2),永格伦、J.H.E.科恩、柯召和孙琦等,还曾用初等的方法解决了其中某些情形。 费马大定理 用不定方程来表示的费马大定理是:设n>2,不定方程 ![]() 1637年,费马声称他已经证明了上述定理,然而他的证明始终未被发现。300多年过去了,这个定理至今未能证明,也无法否定。于是后人有把它称为费马最后定理、费马猜想或费马大问题等。一般倾向性的看法是,费马那个未曾写出来的证明是错的。历史上,曾有许多优秀的数学家为了证明这个定理, 付出了巨大的精力。为了证明费马大定理,只需证明方程 ![]() ![]() ![]() ![]() 卡坦朗猜想 称αm为正整数的乘幂,其中α是正整数,m是大于1的整数。E.卡坦朗在1842年猜想:除开 8=23,9=32外,没有两个连续数都是正整数的乘幂。用不定方程的形式,可写猜想为:不定方程 ![]() 实际上,可以进一步假定方程(20)中p≠q。q=2的情形,在19世纪早已证明。比较困难的是p=2的情形,直到1962年,柯召给出了一个初等而简练的证明,其证明方法也是富有启发性的。即他证明了不定方程x2-1=yp(p>3是一个奇素数)无正整数解。1961年前后,柯召和J.W.S.卡斯尔斯分别独立地证明了没有三个连续数都是正整数乘幂这一著名的弱型卡坦朗猜想。R.特艾德曼证明了:存在可计算的绝对常数с,方程xm=yn+1(x,y,m,n皆≥2)的整数解适合于xm<с。近来,还可以算出logloglogс<1000。 当前,不定方程中比较成熟的方法是处理二个变元的不定方程。三个变元以上的高次不定方程,常常是很困难的。1960年,柯召和卡斯尔斯分别独立地证明了不定方程x3+y3+z3=xyz无xyz≠0的整数解,从而证明了W.谢尔平斯基认为是很难的一个猜想:不存在三个有理数,它们的和与积都等于1。有的看来很简单的不定方程,如 ![]() 又如下列这个没有加减号的不定方程 ![]() ![]() 参考书目 L.J.Mordell,Diophantine Equations, Academic Press,New York,1969. 柯召、孙琦著:《谈谈不定方程》,上海教育出版社,上海,1980。 L.E.Dickson.History of the Theory of Number,Vol. 2, Carnegie Institution of Washington,Washington,1920. P.Ribenboim,13 Lectures on Fermat's Last Theorem,Springer-Verlag,New York,1980. |
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