无穷逻辑(卷名：数学)
infinitary logic
将一阶逻辑中的公式和推理的长度推广至无穷长得到的。在它的公式中，可以出现无穷多个公式的合取式或析取式，也可以出现无穷多个量词。由于一阶逻辑的模型论应用到数学的其他分支时受到了一定的限制，因而产生了无穷逻辑的模型理论。在描述集合论中也使用这种逻辑。1963年前后，因C.卡普及D.S.斯科特等的工作而发展起来，在1969年前后，J.巴威斯及M.马凯依等又在这个方向上作出了重要的贡献。
如果α、β是两个无穷基数(见集合论)，那么无穷逻辑Lαβ的形式语言与一阶逻辑的形式语言相似，即除了有α个变元，可以在基数小于α的公式集上构作合取式或析取式，以及允许在小于β个变元上加全称量词或存在量词外，结构与一阶逻辑相同。因此，L
就是通常的一阶逻辑，另一简单情形是L
。它的公式中允许出现可数无穷个公式的合取式或析取式，但只能出现有穷个量词。例如，可用L的一个句子表示挠群的公理凬x∨｛n·x=0:0<n<ω｝；又如，全体有穷模型的类的特征可以表示为
等。因为无穷逻辑L
应用最广泛，且对它的研究也最深入，因此以L为例，叙述无穷逻辑的一些主要结果。可以用L
逻辑的一个句子刻画可数模型的全部性质，也就是说，如果L是一个只有可数个符号的语言，M是L的一个可数模型，那么存在L中的一个句子φ，使得对于L的所有可数模型N，N≌M的必要且充分条件是N|=φ。此定理是斯科特于1965年证明的。为保持L
逻辑的完备性，必须引进无穷长的推理规则，并且将形式证明的长度也推广至无穷。关于L
的公理和推理规则上加上诸如公理:∧φ→φ，对于每个公式φ∈φ；推理规则
式中φ 是L
中公式的可数集合。容易看出，上述的公理及推理规则的长度可以是无穷的。无穷逻辑的形式证明的定义同一阶逻辑。易知，L的形式证明的长度必小于ω1（即为可数无穷）。有了上述概念，就可以陈述关于L
的完备性定理（卡普，1964）:一个L中的句子φ是定理，当且仅当它是有效的。假定L中仅有可数个符号，那么在L
中经常遇到的困难是它的公式集是不可数的。而在应用中常常只需考虑可数个公式就够了。因此需要对L的句子集（也记为L）加以限制，建立起满足一定性质的可数的公式子集的概念。如果用 A表示满足一定性质的可数集合，则
称为L
上的一个断片。无穷逻辑L
失去了一阶逻辑的两个基本性质：紧致性定理及勒文海姆－斯科朗－塔尔斯基定理。为了在L的公式集的子集上建立紧致性，引进了可允许集的概念。当A为可允许集时，LA就称为可允许断片，巴威斯在L的可允许断片 LA上建立了相应于通常一阶逻辑的紧致性定理(1969)。参考书目
J.Barwise，ed.，Hαndbook of Mαthemαticαl Logic，North-Holland， Amsterdam，1977.
H.J.Keisler，Model Theory for Infinitαry Logic，North-Holland，Amsterdam，1971.