公理集合论(卷名：数学)
axiomatic set theory
数理逻辑的主要分支之一，是用公理化方法重建(朴素) 集合论的研究以及集合论的元数学和集合论的新的公理的研究。E.F.F.策梅洛于1908年首开先河，提出了第一个集合论公理系统，旨在克服集合论中出现的悖论，20世纪20年代A.A.弗伦克尔和A.T.斯科朗曾予以改进和补充，从而得到常用的策梅洛-弗伦克尔公理系统，简记为 ZF。ZF 是一个形式系统，建立在有等词和属于关系“∈”的一阶谓词演算之上。它的非逻辑公理有:外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离（子集）公理模式、替换公理模式、正则（基础）公理。如果另加选择公理(AC)则所得到的公理系统简记为ZFC（见集合论公理系统）。
已经证明：ZF对于发展集合论是足够的，它能避免已知的集论悖论，并在数学基础的研究中提供了一种较为方便的语言和工具。
在ZF中，诸如有序对、关系、等价关系、线序、良序、函数、自然数、有理数、实数及其运算、顺序等等都可以定义。也就是说，几乎所有的数学概念都能用集论语言表达。数学定理也大都可以在 ZFC系统内得到形式证明。因而作为整个数学的基础（至多范畴论例外），ZFC 是完备的。数学的协调性（无矛盾性）可以归结成ZFC的协调性。
序数与替换公理 如果一集合 x的元素的元素也都还是x的元素，则称x为传递集。一个集合x是自然数：如果x是传递集，x的全体元素在∈下良序，而且x的每一非空子集对序∈而言有最大元。这样可以把自然数变成了在ZF内可以定义的一种性质，如把0定义作空集═，1定义作0∪{0}，2定义作1∪{1}……等等，则0，1，2，…，都是自然数，而且只有这些是自然数。
序数是自然数的推广。
“x是序数”是指如果集合x是传递集，而且x在∈下良序。令On表示全体序数所成的集合，α，β∈On，α<β
α∈β。这样，就用∈定义了序数间的< 关系，每一序数都是由比它自身小的序数所组成的集合。每一自然数都是序数，全体自然数ω
{0，1，2，…}也是序数。对任一集合x，令s(x)=x∪{x}。则当x是序数时，s(x)亦为序数。一序数α称作后继序数:如果有一序数β，使α＝s(β)。不是后继序数的序数称为极限序数，例如0，ω 均为极限序数。On虽为一真类，但<On，＜>具有性质:On的任一非空子类都有最小元。因此，要想证明每一序数都具有性质φ ，即可应用超限归纳原理：对于任给的一序数β ，若每一比β小的序数α都具有性质φ 则β亦具有性质φ ，那么对所有的序数都具有性质φ 。
在定义序数运算（加、乘、幂）时，需要用超限递归定理：若G是一运算，则有一运算F，使得对每一序数α，都有F(α)=G(F
α)。而这一定理的证明要用到替换公理。有了替换公理还可以得到极限序数ω+ω的存在性。如果先将正整数从小排到大，再把非正整数从大排到小而成一序列：1，2，3，…，0，-1，-2，…。从而全体整数就良序了，其序型即为ω＋ω 。事实上，任一良序集〈ω，＜〉，都有惟一的序数α使得〈w，＜〉序同构于〈α，∈〉。因此，就可以把良序集按序同构来分类，并将同属于一类的称为具有同一序型的良序集。而序数就可定义作为同构的良序集的代表。依此，可以定义序数的运算。例如，序数的加法可以定义如下:若α，β为序数，γ为极限序数
β＋0=β，β＋s(α)＝s(β＋α)，β＋γ＝
(β＋α)，即用关于α的超限归纳原理来定义β+α。同样地可以定义序数的积β. α和幂βα，以及相应的运算性质，如结合律等。可以证明：替换公理是独立于其他公理的。
基数与正则公理 正则公理与其他公理不同，它不是断言某些集合的存在，而是限制一些集合的存在。提出它是为了研究ZF的模型。在ZF中可定义的数学对象都不以自身为元素；也未发现有集合x，y， 具有x∈y并且y∈x的性质或者集合序列x1，x2，…，满足:
。1917年 D.米里马诺夫首先提出良基集的概念。1922年弗伦克尔在策梅洛原来的公理系统补充了一条公理名曰限制公理，顾名思义，它是给出某种限制，以排除那些非良基集。1925年J.冯·诺伊曼，称它为正则公理。1930年策梅洛也独立地引入了这条公理，并称它为基础公理：
。从而完成了ZF。冯·诺伊曼给出了一个分层：
其中V0=═，
（α为任一序数， F(Vα)表Vα的幂集）
。这样，正则公理肯定了每一集合必在某一Vα中。若再引进γ
，称为x的秩。从而，即可依秩来作超限归纳。在AC成立的条件下，每一群都同构于一个在π中的群：每一拓扑空间都同构于一个在Π中的拓扑空间，等等。而在数学讨论中常常是把同构的对象视作同一的；故正则公理并不给讨论带来局限。
基数 基数概念至为重要。两个集x、y称作是等势的
若在x与y之间能建立一个一一对应。如果集合x与y等势，则记作x～y。由于AC任一集合x都可以良序化，故有序数α ，使得α～x，把这种α中最小的那个序数定义作为集合x的基数，并记作│x│。这样定义的基数│x│仍然是一个集合;而每一集合x都有一个│x│作为x的数量大小的一个刻画；并且如果x～y，则│x│=│y │。这样定义的基数是序数的一部分：即是不能与小于自己的序数等势的那些序数，也就是所谓初始序数。例如0，1，2，…，ω 等都是初始序数，因而都是基数。而ω+1，ω+2，…，ω+ω等都不是初始序数，故都不是基数。所以紧接着基数0，1，2，…，ω 的基数是ω1，它也记作堗1。
如果AC不成立，则可利用正则公理来定义任一集合x的基数，记作憫 。憫为一集合：
。上述定义系D.S.斯科特于1955年给出的。
在60年代末期A.莱维还证明了在AC与正则公理都不成立的情况下，基数概念是不可定义的。
构造模型的方法 由哥德尔不完备性定理可知：如果ZF是协调的，则在ZF中不能证明自身的协调性。所以，在公理集合论中只考虑相对协调性问题。如：
解决这类问题的常用方法就是构造模型。在公理集合论中构造模型的方法不外三点：内模型法，外模型法（即力迫方法），对称模型法。
内模型法是从已知的一个模型M 出发，来定义M 的一个子模型M s；使得M s满足ZF的一些公理或者ZF以外的一些公理。公理集合论的一个著名成果就是1938年K.哥德尔所给出的
ConZF→Con(ZF+CH)的证明，证明中用的就是内模型法，但是当时尚未如此命名。
迄至1951年J.C.谢泼德森已经把内模型法研究得很完善，并已知道要用此法去证明
是不可能的。外模型法（即力迫法）是P.J.科恩1963年所创，科恩据此而证明了CH的相对于ZF的独立性（见力迫方法）。
排列模型的想法始于弗伦克尔，当时他是用来证明
及一些弱选择公理的相对协调性，适用于有原子（本元）的集合论。迭经A.莫斯托夫斯基、斯派克等人的改进而形成FMS方法，其与外模型法相结合即可构成对称模型法。公理集合论的分支 在公理集合论的研究中，大量的工作是关于集合论模型的，此外，还继续此前朴素集合论对无穷组合问题的研究即组合集合论的研究。其中的一些问题是来源于柯尼希树引理和 F. P.拉姆齐定理的推广。
另一分支则为描述集合论（亦称解析集合论），主要是研究划分层次以后的实数子集的结构性质问题。因而，这一部分与分析、实数理论和递归论的关系较为密切。
即使限于上述两个分支的研究，也有许多问题要用到ZF（或ZFC）以外的附加假设才能判定。这里，常用的附加假设有：可构成公理；各种大基数公理，以及与AC不协调的决定性公理等。
哥德尔在1938年提出了可构成公理，并在60年代末和70年代得到重视和发展。至于大基数的研究由来已久，但其作为附加公理亦是在60年代以后。几乎每一种大基数都是ω 的某种性质向不可数基数的推广。可构成性、大基数和力迫法已成为公理化集合论的三大主流，同时它们又是三种研究工具。随着无穷博弈的诞生和博弈论在数学各分支的渗透，以及博弈论与逻辑的关系日益密切，决定性公理也愈受到重视。