分析学(卷名：数学)
analysis
17世纪以来在微积分学发展的基础上形成的数学一大分支。它曾和几何学、代数学并列为数学中的三个主要分支，并从18世纪以来相对独立地得到很大的发展，曾经被认为是数学的一个最大分支。
分析学研究的内容 分析学包括哪些内容是随着数学的发展过程而不断变动的。17～18世纪的分析学，可以说是以无穷小分析为主，即以微积分学、无穷级数为主，还包括经典的变分法、微分方程、积分方程和复变函数的一些基本内容。19世纪以来，数学各分支日趋专业化，促使分析学的各分支相对独立地深入发展。微积分学和无穷级数的理论由于极限理论的发展，在19世纪得到了严密化，函数论特别是单复变函数论的内容得到了极大的丰富而趋于完整，这时的分析学，函数论占据了独特的地位，虽然变分法、微分方程、积分方程也都有相当大的发展。到了20世纪，数学发展的一个特点就是在各分支深入发展的基础上，探求普遍性和统一性。泛函分析的发展是由于变分法和积分方程的一般理论的需求。近代数学发展的又一特点，是各分支的相互渗透与综合，不仅体现在泛函分析的发展上还特别体现在近代微分方程的发展上。随着数学的其他分支如几何学、拓扑学、代数学、概率论的发展以及分析学中的泛函分析、函数论等的发展，微分方程的理论工具日益丰富；又由于近代电子计算机的飞速发展，为它提供了强大的计算工具。这样20世纪的微分方程不仅成为分析学的一个最大分支，而事实上已发展到可以并列于概率论与数理统计学这样重要分支的地位。即从数学分类而论，微分方程应属于分析学；就其内容的丰富程度而论，它已能并列于概率论与数理统计而成为数学的一个独立分支。实际上早期的概率论也属于分析学，由于它和数理统计学的紧密结合，已发展成为数学的一大分支。至于一开始就和无穷小分析结合在一起的数值分析，由于近代计算数学的兴起，有了极大的发展，在分析学中虽仍保留着函数逼近论的内容，但数值分析已经属于计算数学的范围。另外，近代发展的大范围变分法、遍历理论、位势论和流形上的分析等，虽属于分析学的范围，但都是数学其他分支的相互综合。事实上，分析学的许多分支如多复变函数论、群上调和分析、非线性泛函分析等的近代发展，也都体现了数学各分支的相互渗透与综合。目前有关分析学的新的学科分支名称如非线性分析、应用分析等，已相当普遍地被采用，尽管它们确切包含哪些内容并没有定论。由此可见一个学科分支的内容并不是一成不变的，今后分析学的内容仍将随着数学的发展而不断有所改变。
分析学发展的特点 分析学的发展从一开始就与力学、物理学和几何学的发展紧密联系着。根据微积分学发展的历史，可以知道它的许多基本概念是和力学、物理学以及几何学的具体问题相联系的，都有着实际的背景，并受到实际需要的推动。例如，已知物体运动的路程s是时间t的函数s(t)，要求它在某一时刻t的瞬时速度v(t)，这是求导数的问题，正是导数概念的由来之一;反之，已知瞬时速度v(t)和路程s的某一初值要求运动路程s(t)，这是求积分的问题。物理上这个简单问题，就形成了微积分的互逆关系(见微积分学、微分学、积分学)。17世纪I.牛顿、G.W.莱布尼茨完成了微积分学的创建工作，与此同时相应的力学和物理学也得到了发展。几何学的发展也同样说明问题，微分几何在很大程度上可以认为是微积分本身问题的自然产物，而它的近代发展正方兴未艾。在17世纪，求曲线的切线及其斜率是一个对于实际应用有重大意义的几何问题。在透镜的设计中和考虑运动物体在它的运动轨迹曲线上一点的运动方向时，都需要知道曲线上任一点的切线。为求光线通过透镜的道路，就需知道光线的入射角，即应知道透镜镜面截线在入射点处的法线，它是镜面曲线切线的垂线。一般来讲，物体在其运动轨迹曲线上一点的运动方向本身就是该点的切线方向。值得注意的是这个求曲线切线斜率的纯几何问题的研究，正好是微积分学中导数概念的由来之一。可以引述牛顿的老师I.巴罗求曲线的切线斜率的典型方法，即他利用了所谓特征三角形(其后就被称为微分三角形)的方法。如图1
所示，如果已知曲线上一点P(x0，y0)处的切线交x轴于点N，则该切线的斜率等于M P/NM ，这里PM 垂直于x 轴。在曲线上另外取一点
如图所示，过P*作x 轴的垂线P*M *，交切线于Q*，过P 轴的直线，交PM *于R*，则三角形PR*Q*与三角形NM P相似，从而
。从图形上可以看出，当P*沿曲线接近于P点时，Q*很快与P*重合。例如，在图中取P点的邻近点
时，垂线P′M ′与切线的交点Q可以看作与P′重合，曲线弧
可以看作与切线段PQ重合，于是三角形PRQ 就称为特征三角形。巴罗认为所求的斜率即为RQ/PR=b′/α′。实际上这里的α′与b′并非常量，只有当P′点无限接近于P点时，比值b′/α′的极限存在时，极限值才是所求切线的斜率。事实上，当巴罗运用他的特征三角形求切线的斜率时，已经隐含了这样一个无限接近的极限过程，只是当时他还不能正确运用这一极限过程。例如，他在求抛物线y2=Px在一点P(x0，y0)的切线斜率时是这样推导的:
α′)，后一式两端展开得
利用前一式两端减去一个等量，即得
到了这一步后，巴罗当时的论点认为，b′2比起b′是可以略去不计的，从而就得到 
即得所求切线的斜率是
不严密的推导却得到了正确的结果。巴罗用特征三角形求切线斜率的思想，实际上就是17、18世纪导数概念的由来，也是17、18世纪微分几何学把微分看作极小的几何常量来运用的由来。他的主要著作《几何学讲义》是对微积分学的一个重要贡献。牛顿首先把微积分学称为分析学，独立于几何学。他在1669年把他自己在微积分学方面的主要工作写成一篇题为《运用无穷多项方程的分析学》的小册子，把无穷级数也纳入了分析学的范围。微积分的萌芽思想，还可以追溯得更远。中国古代的数学家刘徽（公元 3世纪）的割圆术和其后祖冲之关于圆周率的工作是值得提出的。刘徽首先肯定圆内接正多边形的面积小于圆的面积，当正多边形的边数如图2
所示增加一倍时，新的内接正多边形的面积就增大。这从图形上看是显然的。他把原来的正多边形的每一条边，例如边RQ 所对的圆孤
的中点P定下来，然后把P点和该边的两个端点R和Q连接起来，得到新的内接正多边形的两条边RP和PQ。根据平面几何全大于其份的公设，扇形O-的面积大于四边形ORPQ 的面积，而后者又大于三角形ORQ的面积，可见他的论断是有充分根据的。显然正多边形的边数越加倍，它的面积越接近于圆的面积。刘徽在他的割圆术中说道：“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”在这一特殊问题上，刘徽反映的极限思想比上述巴罗运用特征三角形求曲线切线的斜率时所隐含的极限思想要更为明确。刘徽所说的“割之弥细，所失弥少”表达了圆面积与内接正多边形面积之差是一个单调减少的正的序列。他的后两句话表示当边数无限增加时，这个序列的极限为零，即他所说的“无所失矣”。祖冲之在刘徽割圆术的基础上首先计算出了精确到千万分之一的圆周率的近似值，他还相当精确地计算了球的体积。由此可见，在一些具体的问题上，如求切线、求弧长、求曲边形的面积或曲面体的体积等，在17世纪初已经积累了不少成果，而且可以追溯得很远，有些成果即使在微积分创立之后，也是用同样的思想和方法解决的。但微积分作为一门学科来发展，还是由于牛顿和莱布尼茨的贡献。在他们之前，微积分的工作差不多局限于一些具体问题的细节之中，还缺乏普遍性的规律。牛顿和莱布尼茨的工作首先使得导数与积分的互逆关系成为相当广泛的一类函数的普遍规律。他们有效地创立了微积分的基本定理和运算法则，从而使微积分能普遍应用于科学实践，终于不再是古希腊几何学的延展而成为一门独立的学科，并成为数学中最大分支“分析学”的起源。这都是他们作出贡献以前不可能达到的。18世纪以来的分析学 18世纪， 分析学的应用大刀阔斧地向前迈进。这时微积分学充分发挥了它的威力，促使经典的变分法、微分方程、积分方程都有很大发展。分析学的范围扩大了。无穷小分析成为当时数学发展的一个主流。整个18世纪的数学进展，远较其他世纪更直接受到物理问题的推动。一方面数学为解决物理问题而创造出新的数学方法与理论，另一方面物理学的进展愈来愈需要新的数学方法与理论作为它的工具。这时数学本身的严密性问题很少引起注意，诸如级数与积分的收敛问题，累次积分交换次序问题，微分方程解的存在与惟一问题等，几乎无人问津。一个物理问题用数学形式表达出来之后，数学家们就开始工作，新的数学方法和定理就不断涌现。既然结论在物理问题上被证实是正确的，就顾不到追究在数学推理上的严密性。当时正是物理与几何的直观促进了无穷小分析的蓬勃进展，至于奠定数学的逻辑基础，一时还看不到什么迫切的需要。18世纪数学家的代表人物L.欧拉同时是当时居领导地位的理论物理学家。他还研究船舶设计、帆的作用、弹道学、地图学以及其他的实际问题。他的数学著作多得惊人，几乎每个领域都有他的重要贡献。在18世纪虽没有产生象17世纪时的微积分那样划时代的新学科，但当时的数学家施展了高超的技巧，发掘并推进了微积分学的影响，扩大了分析学的领域。变分法的早期工作几乎和微积分本身难以区分。牛顿就研究过物体在水中作轴向常速运动时，要使运动阻力最小，其旋转曲面应具什么形状的问题。1696年约翰第一·伯努利提出了最速降曲线的问题，要求从一给定点P1到处于P1下方但并不在过P1点的铅直线上一点 P2的曲线弧
使得一个质点沿这曲线弧从 P1下滑到P2所用的时间为最短，而质点在 P1处的初速是已知的。这一类问题都归结为要求一个未知函数y(x)，使得如下形式的积分
取到极值，这里函数关系F是已知的。欧拉成功地获得了使J取极值的必要条件是y(x)应满足方程 
，但他当时并不明确这只是必要条件。他在1736年发表这个有名的方程，并由此来求得使J取极值的解。至于该微分方程的解是否是使J取极值的解，他只是从所处理的实际问题来回答。欧拉还解决了带有特殊边界条件的更难的极值问题。他的方法还是先从解这个微分方程入手。欧拉的工作引起了J.-L.拉格朗日的注意，他于1755年对于范围较广的一类极值问题得到了一个比较系统而一般的方法，他称之为变分法。用这个方法他求出了使 J取到极值的必要条件是欧拉已经获得的那个微分方程。这个结果后来被称为变分法基本引理，它的严格证明直到1848年由 P.F.萨鲁斯给出。至于寻求使J取到极值的充分条件，在18世纪也没有得到结果，1879年K.（T.W.）外尔斯特拉斯才给出了充分条件。他把拉格朗日变分称为弱变分，并且引进了强变分概念，给出了在强变分意义下使J取极值的充分条件。到20世纪，D.希尔伯特提出了他的不变积分理论，从而比较简单地导出了外尔斯特拉斯关于强变分的充分条件。从变分法的进展也可以看出18世纪数学工作的特点。数学家们巧妙地运用无穷小分析的技巧，解决了许多类型的极值问题，如最速降曲线问题、等周问题、测地线问题、极小旋转曲面问题等等，但变分法基本引理的严格证明以及使J取极值的充分条件却并没有认真研究（见变分法）。到了19世纪，分析学中直观的不严密的论证导致的局限性和矛盾愈益显著，分析的严密化日益引起数学家的关注。 N.H.阿贝尔于1826年给 C.豪斯顿的一封信中写道：“人们在分析中确实发现了惊人的含糊不清的地方。这样一个完全没有计划和体系的分析，竟有那么多人能研究过它，真是奇怪。最坏的是从来没有严格地对待过分析。在高等分析中只有很少几个定理是用逻辑上站得住脚的方式证明的。人们到处发现这种从特殊到一般的不可靠的推理方法，而非常奇怪的是这种方法只导致了极少几个所谓的悖论。”这些话确实反映了当时分析学发展的情况。事实上，尽管微积分学已发展成为一门独立的学科，具备了极为丰富的内容和十分广泛的应用，但是它自己还未形成逻辑严密的理论体系，甚至它的最主要的基本概念如函数、导数、微分、定积分等，都还没有严密地给出定义。严密的分析是从B.波尔查诺、A.-L.柯西，阿贝尔和 P.G.L.狄利克雷的工作开始，并由外尔斯特拉斯进一步发展了的。在这方面以柯西和外尔斯特拉斯的工作为最主要。柯西在他的《分析教程》(1821)中从定义变量开始，对于函数概念引进了变量间的对应关系，而单值函数的确切定义，是狄利克雷在一篇关于傅里叶级数的论文《用正弦和余弦级数来表示完全任意的函数》中给出的，该文发表于1837年。三角级数的研究不仅导致函数概念的严密化、外尔斯特拉斯还利用三角级数构造出处处连续处处不可导的函数的例子。上述柯西和狄利克雷二人的工作都摈弃了欧拉认为函数必须有分析表达式的观点和拉格朗日认为函数都可以用幂级数展开的观点。事实上，有名的狄利克雷函数即在一切有理数取值1，在一切无理数取值0，就是狄利克雷在1829年给出的，显然并不需要用复杂的分析表达式来表示后才肯定其为函数。关于函数连续性的确切定义，即ε-δ说法，是由外尔斯特拉斯在1841～1856年间做中学教师时给出的，直到1859年他在柏林大学任教之前，他的大部分工作没有为人们所知道。波尔查诺于1817年首先给出了导数的定义，并且给出了级数收敛的明确概念，但他的工作有半个世纪未被注意。关于收敛概念，一般归之于柯西1821年的工作。柯西于1823年在他的《无穷小分析教程概论》的著作中，对定积分作了系统的开创性工作，对于连续函数给出了定积分作为和的极限的确切定义。定积分概念对于一般的有界函数的定义是黎曼完成的。分析的严密化促进了实数系的逻辑基础的建立。外尔斯特拉斯于1840年就开始考虑了无理数理论，到1872年R.戴德金的分划使实数系建立在有理数的基础上，从此微积分学才形成了严密的理论体系。苏联数学课程的设置中，称这样理论体系的微积分为数学分析，并结合一般拓扑的基础，实变函数论和泛函分析的基本内容，作为数学分析的延伸。
单复变函数论在19世纪是一项很独特的创造，当时在分析学中的地位，可以说几乎相当于17～18世纪微积分学所处的地位。在18世纪，欧拉、达朗贝尔和拉普拉斯等人联系着力学的发展，对于单复变函数已经做了不少工作，但函数论作为一门学科来发展，还是从19世纪开始。C.F.高斯在1811年，S.-D.泊松在1815年都曾经考虑积分的上、下限是复数的情形。但复变函数论的基础理论是由柯西开始建立起来的。他在这方面的第一篇重要论文是《关于定积分理论的报告》。该文1814年曾宣读于巴黎科学院，出版的时间是1827年。他在该文的序言中说到，他被吸引到复的积分问题的研究，是由于在处理流体力学的问题中出现的二重积分需要考虑交换积分次序的问题，从而进一步考虑了由实到复的过渡。1825年柯西完成了另一篇重要论文《关于积分限为虚数的定积分的报告》，到1874年才发表。该文中已经有留数定理的内容。单复变函数论中相当重要的一类解析函数叫做整函数，它在整个复平面的有穷部分都解析，外尔斯特拉斯在1876年把实多项式的因式分解定理推广到整函数。在整个复平面的任何有穷部分只能有极点作为奇点的解析函数叫做亚纯函数。外尔斯特拉斯证明亚纯函数可以表成两个整函数的商。M. G.米塔-列夫勒在1884年将有理函数的部分分式定理推广到一般亚纯函数。各种类型的复变函数的取值范围的问题是一个引起许多数学家注意的研究课题，即所谓值分布问题。(C.-)É.皮卡在1897年证明一个不退化成一常数的整函数最多只能有一个有穷值它取不到，并且如果有两个值它只取到有穷次的话，那么它只能是一个多项式，否则除去一个例外值以外，它应无穷次取到每一个值，对于亚纯函数而言，由于它可以取值∞，如果它不退化为一常数，最多只能有两个值取不到。他还证明一个函数在它的孤立本性奇点的任一邻域内除可能有一个例外值外，应取到所有的值。关于亚纯函数的值分布理论，到20世纪还有很大发展。在单复变函数的研究中，多值函数是很重要的研究对象。系统地处理多值函数是由黎曼开始的。他建立了黎曼曲面的概念，有效地使一个多值函数在它联系的黎曼曲面上成为单值函数，从而得以用处理单值函数的方法来研究多值函数。黎曼还从给定的黎曼曲面出发来求它所联系的基本方程 ƒ (ω，z)=0，进而考虑黎曼曲面上有理函数R(ω，z)的积分，即关于阿贝尔积分的研究。黎曼还把共形映射的概念推广到黎曼曲面。关于黎曼曲面的系统研究有（C.H.）H.外尔的专著。他给出的黎曼曲面的概念导致了流形概念的确立与发展。20世纪黎曼曲面的研究还有很大的发展。例如，最早由黎曼开始研究，并由G.罗赫在1864年完成的著名的黎曼-罗赫定理到 20世纪有很大的推广与应用。本质上这个定理确定了在至多有有穷个极点曲面上的线性无关的亚纯函数的个数。其他如函数的几何理论、拟共形映射、广义解析函数等在20世纪都有很大发展，但函数论作为分析学的主流，却是19世纪独特的情形。另外应当提到的是关于狄利克雷级数和它的特殊情形所构成的黎曼ζ函数的研究，对解析数论所起的作用。1837年狄利克雷运用了现在称为狄利克雷级数的工具，证明了数论中欧拉-勒让德的猜想，即每一形如｛α+nb｝的序列，其中α与b互素，都含有无穷多个素数。1896年J.（-S.）阿达马证明函数ξ(z)在x=1直线上没有零点，从而证明了数论中的素数定理。函数论的方法与成果引入到数论中去，促成了19世纪解析数论的大发展。可见19世纪的单复变函数论确实是一项独特的创造（见复变函数论）。
19世纪以来偏微分方程和常微分方程的理论也有很大发展（见微分方程）。特别应当提出，同偏微分方程的发展紧密联系的傅里叶分析的发展情况。由于工业上和科学上的需要，法国巴黎科学院曾把热传导问题定为1812年授予高额奖金的项目。傅里叶在1811年完成的得奖论文中，运用了函数用三角函数展开的方法来解热传导方程。在有限区间的情形，他考虑了函数的三角级数展开。他指出系数由函数ƒ(x)的如下形式的积分
(1)确定的三角级数
在区间(0，2π)能表示该函数。后人称这样确定的三角级数为ƒ(x)的傅里叶级数，并称(1)所确定的系数αv，bv为傅里叶系数。在无穷区间的情形，傅里叶考虑了函数的三角积分展开。若令
(2)他指出函数ƒ(x)可以用它三角积分
表示。后人称上述积分为ƒ(x)的傅里叶积分，并称(2)为ƒ(x)的傅里叶变换。傅里叶有效地使用上述展开求热传导方程的解，即现在通用的分离变量法，但他并没有研究展开的级数或积分的收敛问题。目前通用的收敛准则是狄利克雷给出的。19世纪建立的傅里叶分析的理论，对于应用数学而言，当时已是令人满意的数学工具，但由于积分概念的局限性，对于函数与展开式之间的深刻联系，直到20世纪勒贝格积分概念确立之后才有重大的进展。三角级数的惟一性问题和傅里叶展开的收敛问题，是傅里叶分析的两个很主要的问题，前者经过G.（F.P.）康托尔等人的研究，集中到惟一性集合的结构问题，至今虽还没有满意的结果，但开创了点集结构性质研究。后者在概收敛意义下Η.Η.卢津曾提出依H.L.勒贝格意义平方可积函数的傅里叶级数必概收敛于该函数的猜想，这个猜想到20世纪60年代为L.卡尔森所证明。多元傅里叶分析经过了S.博赫纳、A.赞格蒙、A.-P.考尔德伦、E.M.施坦、C.费弗曼等人的研究有了很大的进展。傅里叶变换在广义函数空间有较多的运用，但在n维欧氏空间的傅里叶变换的研究中，有迹象表明勒贝格积分对于傅里叶展开的研究虽然促进了一大步，但依旧显示出了局限性。至于群上调和分析的研究，则紧密联系着群表示论的进展，以及在一般的拓扑群上测度论的建立。后者经过A.哈尔、A.韦伊和И.M.盖尔范德等人的工作而趋于完善（见傅里叶分析）。20世纪初，一方面由于19世纪以来对于函数性质的一系列发现，打破了自从微积分学发展以来形成的一些传统理解。例如函数可以连续而处处都不可导，收敛的以连续函数为项的级数的和可以不连续，黎曼可积函数的序列可以有不可积的极限函数等等，都和当时的传统认识不符。另一方面，由于函数的傅里叶展开和积分的概念紧密有关，黎曼积分的局限性就愈益显著。这两方面的原因都促使对积分理论作进一步探讨。1902年勒贝格发表了他的论文《积分、长度与面积》。他的积分概念是建立在他关于点集的测度概念之上的。勒贝格的测度在一维欧氏空间是长度的扩充，在高维空间是面积、体积的扩充。就一维的情形来考虑，一个勒贝格测度为零的集合叫做零测集或简称零集，不一定是空集，也不一定是只有个别点的集合。这和长度为零的直观想象不同，一个零集可以有无限多的点，例如[0，1] 区间的有理点所成的集合是一个零集。称一个集合的测度为零，如果对于任意给定的正数 ε，总可以找到一串开区间{In}把它覆盖住，使得区间 In的长度 ｜In｜所构成的级数
收敛，且其和小于预先任意给定的ε。由此可见，测度等于零不能简单地理解为长度等于零，但是同长度有着密切的联系。测度概念的进一步扩充，即所谓抽象测度论，奠定了概率论的理论基础，同时在群上调和分析、谱理论等方面都起着基础作用。勒贝格建立了测度概念之后，称有测度的点集为可测集，并定义了一类极为广泛的函数，叫做可测函数。称实函数ƒ(x)为可测，如果对于任何实数с，点x满足ƒ(x)>с的全体构成的集合总是可测集合。按勒贝格的积分概念，有限区间上一切有界的可测函数，都是可积的，这就大大扩大了可积函数的范围，例如 [0，1]区间上的狄利克雷函数是可积的，但它的黎曼积分就不存在。勒贝格积分是黎曼积分的扩充，按黎曼意义可积的函数，按勒贝格意义也一定可积，而且两种意义的积分相等，反之则不然。勒贝格还为建立原函数概念与积分概念的关系作出了贡献。他证明：在[α，b]上按他的意义可积的函数 ƒ(x)的变上限的积分
，对于[α， b]上几乎所有的点x，导数F′(x)存在且等于ƒ(x)。这里称[α，b]上除了一个测度为零的集合以外的一切点为 [α，b]上几乎所有的点。勒贝格积分的创立还大大简化了极限运算与积分运算次序的交换以及累次积分的积分次序的交换（见勒贝格积分）。20世纪泛函分析的发展反映了本世纪数学发展的一个特点，即探求普遍性与统一性。在泛函分析中函数已不作为个别对象来研究，而是作为空间中的一个点，与几何学结合起来，对整个一类函数的性质加以研究。于是分析学从原来普通欧氏空间变量间对应关系的研究上升到函数空间不同类函数间的对应关系的研究，这是一个重要的发展。追溯到19世纪，泛函的抽象理论是1887年由V.沃尔泰拉在他关于变分法的工作中开始的。可以说泛函分析的开端是和变分法的研究有着密切联系。但在建立函数空间和泛函的抽象理论的卓越成就中，应当首推 M.-R.弗雷歇1906年的博士论文工作。他在距离空间中成功地给出了泛函的连续性、可微性和微分的概念。为了适应变分法理论普遍化的需要，L.托内利从1911年开始，在泛函理论方面开展了一系列工作。在他的《变分法基础》的第2卷中，泛函的下半连续概念成为一个基本概念，在这基础上他研究了相当广泛的一类极值问题的解的存在性。尽管泛函的抽象理论最早是从变分法的工作中提出来的，但线性泛函分析的理论却是随着积分方程解的理论的普遍化而发展起来的。作为泛函分析核心的抽象算子理论，统一了微分方程和积分方程的特征值理论。希尔伯特在他的积分方程的工作中，曾把一类函数看成由它的傅里叶系数序列所确定，这系数序列{сn}满足
。其后E.施密特把复数的无穷序列{zn}满足
的，作为希尔伯特空间l2的元素z={zn}，对于这空间的任意两个元素z，w，他用
表示它们的内积，用
表示z 的范数。这是希尔伯特空间的由来。施密特和弗雷歇都曾注意到依勒贝格意义平方可积的函数空间l2完全类似于序列的希尔伯特空间，其后F.里斯给出了l2空间的具体构造，即对于ƒ，g∈l2，用
来表示它们的内积，用
表示ƒ的范数，并指出平方可积函数空间l2和平方可和序列空间l2是等价的，其根据即著名的里斯－费希尔定理。为使积分方程理论的普遍化，S.巴拿赫建立了完备的赋范空间，后通称巴拿赫空间。对于空间的任意一个元素x，其范数‖x‖应满足下列3个性质：①‖x‖≥0，‖x‖=0当且仅当x=0;②‖αx‖=|α|·‖x‖对于一切复数α成立;③‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖对于空间的一切x，y都成立。这里预先假定了空间是一个加法群（交换），对于数乘是封闭的，并且规定了完备性，即任一柯西序列必有极限。这包括了许多具体的函数空间，例如p(1≤p)次可积函数以其模的p次方的积分作为范数的p次方的空间lp都是巴拿赫空间。1929年巴拿赫引进了对偶空间的概念。对于给定的空间B，考虑其上（连续）有界线性泛函所组成的空间B*，称B*为B的对偶空间，其中元素的范数即规定为泛函的界。巴拿赫的工作对于积分方程的抽象理论有许多贡献。另一方面算子理论在量子力学中的应用，促进了希尔伯特空间与算子理论的发展，最主要的工作是1927年以来J.冯·诺伊曼的公理化方法和他对埃尔米特型算子建立的普遍的特征值理论。随后他又把有界算子的理论推广到无界算子。广义函数论的发生与发展既和调和分析紧密联系，又和物理与工程的许多分支学科相联系，最基本的广义函数首先由物理学家P.A.M.狄喇克提出来的。而L.施瓦尔茨的广义函数论则建立在严格的理论基础上的，其后И.М.盖尔范德又作出了重要贡献(见广义函数)。近代泛函分析，特别是非线性泛函分析的发展，渗透到了数学、物理的许多领域。非线性分析、应用分析虽没有确切的范围，但它们的发展方兴未艾。其他如数值分析、函数逼近论、广义矩量问题、量子场论和统计力学等，也都以泛函分析作为它们的重要工具。非线性偏微分方程的近代发展更是以非线性泛函分析为主要工具之一（见泛函分析）。函数逼近论的中心思想是用简单的函数来逼近复杂的函数。例如，汽缸活塞的往返直线运动，通过曲柄连杆转换成圆周运动，这时运动方程比较复杂，在应用中往往采取较简单的渐近公式。这是函数逼近论的一个由来。在许多实际问题中，经常采取这样的以简驭繁的方法。1859年∏.Л.切比雪夫考虑了最佳逼近问题，1885年外尔斯特拉斯证明了连续函数可用多项式在固定区间上一致逼近。他们的工作至今仍显示着重要性。用逼近的阶来刻画被逼近函数性质的正定理和逆定理，是1912年D.杰克森和S.伯恩斯坦分别得到的，现已成为函数构造论的基础。1957年Α.Η.柯尔莫哥洛夫关于用单变量函数表示多变量函数的工作，进一步发挥了函数逼近论的中心思想。这种以简驭繁的思想，渗透在分析学的许多领域。在函数逼近中当被逼近的函数整体来说可微的次数不大时，用统一的多项式去逼近，未必能得到高阶的近似，但用逐段高阶可微的函数去逼近时，就能得到较高的近似，这就是样条函数逼近的由来。当被逼近的对象的性质不同时，逼近的工具应有所选择。有的函数用有理函数来逼近往往能够得到比用多项式逼近更高的近似。有的函数用沃尔什函数系的多项式来逼近往往能比用三角函数系的多项式逼近得到更高的近似。由此就产生了对于某一类函数，寻找最优的逼近工具问题，这方面的工作，柯尔莫哥洛夫于1936年进行了系统的研究，他定义的函数空间的集合的一个度量叫做宽度，其由来即在于此。在复数域上有理函数的逼近有J.L.沃尔什等人的工作。用算子逼近以及饱和类的研究，有M.扎门斯基，P.L.巴策尔，G.G.洛伦茨等人的工作（见函数逼近论）。
20世纪多复变函数论有较大的发展，但仍然远不能象单复变函数论那样发展得完整，这是近代分析学中很有发展前途的分支之一。早在19世纪，外尔斯特拉斯曾研究过两个复变数的解析函数在零点近旁的情形，即所谓外尔斯特拉斯预备定理，它揭示了多元解析函数的零点所成的集合完全失去了像单元解析函数的零点构成孤立点集的性质。1895年P.库辛考虑了米塔－列夫勒定理在多复变情形的推广，他得到的结果是限于开区域的情形。即所谓库辛第一定理。对于一般的区域，米塔-列夫勒定理的推广是否成立，就是所谓库辛第一问题。库辛的第二问题是关于按给定零点构造全纯函数的问题，库辛的第二定理同样是限于区域是开域的情形证明了他的第二问题可解。和库辛问题紧密联系的是庞加莱问题。早在1883年（J.-）H.庞加莱提出如下的问题:设φ(z1，z2，…，zn)在区域D亚纯，是否可以找到两个在D解析的函数G和h，它们不含公共的解析函数因子，使在D有
成立。如果对区域D库辛第二问题可解，则庞加莱问题亦必可解，其逆并不成立。庞加莱于1887年还考虑了二元解析函数的留数问题。20世纪，1906年F.M.哈托格斯证明了他的基本定理，即在双元柱|z|<R1，|w|<R2中定义的单值二元函数ƒ(w，z)如果其中任一个变量任意固定，关于另一变量都是解析的话，则ƒ(w，z)在双元柱中是一个二元解析函数。同年他又发表了多元解析函数的解析开拓定理。1910年E.E.列维提出了拟凸域和正则域（即全纯域）是否等价的问题，这个问题像库辛问题一样推动着多复变函数论的进展。1929年W.F.奥斯古德的《函数论》第 2卷可以说是多复变函数论最早的一本专著。1936年S.伯格曼发表的柯西积分公式比A.韦伊1935年发表的积分公式更具有普遍性，但后者的公式比较简单。在积分表达式方面还有华罗庚和S.博赫纳等人的工作。1935年H.嘉当对于两个变量的情形证明了凡是能使库辛第一问题可解的区域必定是正则域，岡潔在1937年证明了它的逆定理，而且对于多变量的情形逆定理也成立。1939年岡潔对库辛第二问题也作了解答。1942年他首先给出了莱维问题的肯定性解答。岡潔的工作对于多复变函数其后的发展起着重要的影响。多复变函数的近代发展更趋向于综合，它除了联系着分析学的许多分支外，还紧密联系几何学、代数学以及代数几何的发展，体现了近代数学发展的特点。华罗庚的专著《多复变函数论中典型域的调和分析》一书，反映了这方面颇具特色的贡献，其中揭示了对于典型域而言，拉普拉斯算子和与之相联系的一组二阶微分算子具有共同的泊松核，并引起了其后的许多研究。目前国际上在多复变方面的重大成果主要在复几何方面。丘成桐在这方面做出了重要贡献（见多复变函数论）。参考书目
钱宝琮主编：《中国数学史》，科学出版社，北京，1981。
M.克莱因著，北京大学数学系数学史翻译组译:《古今数学思想》，第1～4册，上海科学技术出版社，上海，1979。(M.Kline，MatheMatical Thought from Ancient to Modern Times，Oxford Univ.Press，New York，1972.)