杨－米尔斯理论(卷名：数学)
Yang-Mills theory
又称规范场理论，是研究自然界四种相互作用（电磁、弱、强、引力）的基本理论，是由物理学家杨振宁和R.L.米尔斯在1954年首先提出来的。它起源于对电磁相互作用的分析，利用它所建立的弱相互作用和电磁相互作用的统一理论，已经为实验所证实，特别是这理论所预言的传播弱相互作用的中间玻色子，已经在实验中发现。杨－米尔斯理论又为研究强子（参与强相互作用的基本粒子）的结构提供了有力的工具。在某种意义上说，引力场也是一种规范场。所以这一理论在物理中的作用非常重要。数学家注意到杨－米尔斯场中的规范势恰是数学家在20世纪30～40年代以来深入研究过的纤维丛上的联络。不仅如此，他们还发现，这一理论中出现的杨－米尔斯方程是一组数学上未曾考虑到的极有意义的非线性偏微分方程。1975年以来数学家对杨－米尔斯方程进行了许多深入的研究，这些研究对于纯粹数学的发展，也起了推动作用。
从物理学知道，电磁场的强度E和H可以用闵科夫斯基时空中的反对称张量Fλu表示(λ，μ=1，2，3，4)：
， (1)并且存在电磁势Aλ，使
， (2)这里的Aλ可容许规范变换
， (3)φ是任意函数。如置
，
那么规范变换就可以用U(1)群的李代数u(1)(i为其基)中的关系式来表示
，U(1)群反映了带电粒子的波函数所容有的内禀对称性。杨振宁和R.L.米尔斯根据中子和质子的同位旋对称性(用群SU(2)来体现)，预言必存在某些场，它们由规范势bλ所定义，bλ∈su(2)，（su(2)记SU(2)的李代数），它们也有规范变换
。 (4)这里S是SU(2)值函数。由bλ定义的规范场有它的强度
。 (5)它比(1)复杂，这是因为SU(2)是非可换群之故。这种作法可形式上推广到任何李群G。用数学的语言来说，杨－米尔斯的规范势就是闵科夫斯基空间R 3，1上的直积纤维丛G×R3，1上的联络，Fλu就是曲率。
然而杨-米尔斯还提出了杨-米尔斯作用量（规范势的泛函）
。这里(，)是李代数的嘉当内积，作它的变分，就得到纯杨-米尔斯方程
。这里ηλ寶是以1，1，1，-1为对角元的对角阵，是闵科夫斯基空间的度量张量。70年代中期起，杨振宁等注意到，不是直积的纤维丛的整体理论对物理很有作用，例如，第一陈示性数可以表示磁荷。数学家也大力研究杨－米尔斯理论，特别是杨－米尔斯方程。这是一组非线性的偏微分方程，有相当高的复杂性。数学家除了研究闵科夫斯基时空上的杨－米尔斯方程外，还研究一般的可定向的四维黎曼流形上的杨－米尔斯方程。特别，如果*是霍奇算子，若
成立，则bλ必然是杨-米尔斯方程的解。这种解称为自对偶的和反自对偶的。已经证明，在许多很有意义的四维黎曼流形上这种解是存在的，也已经弄清了这种解的自由度，在某些特殊情形下，这些解能够用代数几何的方法显式地作出。这是解非线性偏微分方程的值得注意的新方法。此外，对于解的空间(称为模空间)的拓扑结构也开始有所了解。这些研究已对四维拓扑流形是否可有微分结构的问题作出了很有意义的结果。利用这些结果，1983年，M.弗里德曼引出了如下的出人意外的结果:作为拓扑空间的欧氏空间E4容有非平凡的可微分结构（人们已经知道En(n≠4)只有平凡的可微分结构）。人们预料，E4的这种例外情形，在数学中（或许对物理）将会有很大的影响。杨－米尔斯场数学问题的研究还有许多方面的问题。中国数学家和理论物理学家对杨－米尔斯场的研究作了若干贡献。