词条 | 突变理论 |
释义 | tubian lilun 突变理论(卷名:数学) catastrophe theory 20世纪70年代发展起来的一个新的数学学科。一种自然现象或一个技术过程,在发展变化过程中常常会从一个状态跳跃式地变到另一个状态,或者说经过一段时间缓慢的连续的变化之后,在一定的外界条件下,会产生一种不连续的变化,这就是所谓的突变现象。这类突变现象在大自然里以及在技术过程中都是普遍存在的。例如,一定质量的气体在一定的温度和压力之下会变成液体,天气的突然变化会产生暴风雨,地壳的剧烈运动会引起地震,桥梁的扭曲会导致断裂,容器里的几种物质在一定的外界条件下会发生化学反应,胚胎的发育,等等,这些现象都是突变现象。以前科学家们在研究这类突变现象时遇到了各式各样的困难,其中主要困难之一就是缺乏恰当的数学工具来提供描述它们的数学模型。1969年法国数学家R.托姆在他的题为《生物学中的拓扑模型》一文中,首次在奇点分类的基础上提出了一个描述突变现象的数学模型。稍后,他在著名的《结构稳定与形态发生》一书中又系统地阐述了他的思想,这就是现在人们所称的突变理论。 泽曼机是E.C.泽曼为阐述突变理论而构造的一个力学例子。D是一个半径为1的圆盘,它可以围绕xy平面的原点O自由转动。A是xy平面上的一个固定点,AO的长为3,B是圆盘上的一个固定点,取两条长度为1的弹性带子,把其中的一条的一端固定在点A,另一端固定在圆盘上的点B处;另一条弹性带子的一端固定在B处,另一端C在平面上自由移动。当点C在平面上连续变动时,只要BC的长度大于1,那么在弹性力的作用下,一般说来,圆盘是跟着C点的移动而连续地转动。在实验中发现,当C移动到某些点时,圆盘会从一个状态跳跃到另一个状态,发生了不连续的变化即突变。通过实验就可以看到这种突变点构成一条如图1 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 由这个力学的实例可以概括出研究突变现象的数学方法: ① 确定刻画系统状态的参数 (x1,x2,…,xn)及系统的控制参数(u1,u2,…,ur)。在上例中就是确定出刻画圆盘的状态的参数θ以及控制参数(x,y)。 ② 确定支配系统的势函数p(x1,x2,…,xn;u1,u2,…,ur)在控制参数为(u1,u2,…,ur)时系统的平衡态(x1,x2,…,xn)使得势函数p取极小值,在上例中就是找出系统的弹性势能V(θ,x,y)。 ③ 确定系统所有可能出现的平衡态构成的空间Mp,Mp是Rn+r中由方程式 ![]() ④ 研究Mp到Rr(u1,u2,…,ur)上的投影 ![]() ![]() 一般说来,势函数可以是非常复杂的。但是托姆关于基本突变分类定理告诉人们,尽管势函数 p千千万万,但是只要势函数的控制参数u1,u2,…,ur的个数不超过4,用奇点的语言就是:p(x1,x2,…,xn)的余维r≤4,结构稳定的势函数的拓扑型(即在坐标的微分同胚变换之一)只有七种类型(见表 ![]() 参考书目 R.Thom,Structural Stability and Morphogenesis, W.A.Benjamin, Reading, Mass.,1975. R.Thom, Topological Models in Biology,Topology 8,pp.313~355, 1969. |
随便看 |
百科全书收录78206条中英文百科知识,基本涵盖了大多数领域的百科知识,是一部内容开放、自由的电子版百科全书。