词条 | 特殊函数 |
释义 | teshu hanshu 特殊函数(卷名:数学) special function 一些高级超越函数的总称,不是代数函数的完全解析函数通称为超越函数。高级超越函数是超越函数中不为初等函数的泛称。特殊函数多半是从寻求某些数学物理方程的解得出的。它种类繁多,而且不断有新的出现。常见的有:Γ 函数、B 函数、超几何函数、勒让德函数、贝塞尔函数等。一些正交多项式,如雅可比多项式、切比雪夫多项式、埃尔米特多项式、拉盖尔多项式,等等,通常也列入特殊函数的内容中。 特殊函数在物理学,工程技术,计算方法等方面有广泛的应用。研究特殊函数常用的工具是解析函数理论,如围道积分、幂级数展开等等。 L.欧拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里叶等人,都在这方面做过奠基工作。 Γ函数 阶乘n!仅对正整数n及0有意义,扩大到任意复数α,定义阶乘函数为 ![]() ![]() ![]() ![]() n!=(1)n=г(n+1)。当Re(z)>0时, ![]() ![]() ![]() B函数 B函数可以用Γ函数来定义: ![]() ![]() ![]() 超几何函数 设α,b),с为常数且с不为零及负整数,通常把幂级数 ![]() ![]() ![]() ![]() 设αj(j=1,2,…,p),βk(k=1,2,…,q)均为常数,且后者不为零及负整数,并设p≤q+1。幂级数 ![]() ![]() ![]() 一函数F(z,t),如果通过形式运算(即不管这种运算是否合理)能够展成t的幂级数 ![]() 广义超几何函数及超几何函数可以用来表示多种初等函数、高级超越函数以及它们之中的一些母函数,因而有广泛应用。 勒让德函数 勒让德微分方程 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 贝塞尔函数 在18世纪中叶欧拉研究圆鼓膜振动问题时,引进了极坐标形式的波动方程 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 设 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 设φ0(x),φ1(x),…,φn(x),…为在开区间(α,b))上有定义的实函数系,ω(x)为定义在(α,b))上的非负函数;如果对任何非负整数m≠n恒有 ![]() 设v>-1,则J ![]() ![]() ![]() 勒让德多项式 Pn(x) 在18世纪后期勒让德研究球体引力及行星绕日运动问题,从母函数 ![]() ![]() 一个多项式如果能够用一个函数的 n阶导数乘上适当的因子表示出来,这种表达式通常叫做这个多项式的罗德里格斯公式。Pn(x)的罗德里格斯公式是 ![]() 勒让德多项式具有多种积分表示,常用的拉普拉斯第一积分表示为 ![]() Pn(x)具有递推公式 ![]() Pn(x)是在区间(-1,1)中以1为权函数的正交多项式。 设 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Pn(x)有n个单零点,在实轴的开区间(-1,1)中。利用这些零点以及在这些零点处Pń(x)的值,可以构造一种精确度很高的求定积分近似值公式。 1980年前后,有几位数学工作者,利用勒让德多项式,讨论一些数的无理性,扩大了这个古老多项式新的应用,引起人们的重视。 雅可比多项式P ![]() 定义 ![]() 罗德里格斯公式 ![]() 母函数 ![]() 微分方程 ![]() 递推公式 ![]() ![]() 正交性 条件α>-1,β>-1;区间(-1,1);权函数(1-x)α(1+x)β。 特殊情形 格根堡多项式 ![]() 勒让德多项式 ![]() 切比雪夫多项式 ![]() 格根堡多项式C ![]() 定义 ![]() 罗德里格斯公式 ![]() 母函数 ![]() 微分方程 ![]() 递推公式 ![]() ![]() 正交性 条件 ![]() ![]() 切比雪夫多项式Tn(x) 定义 ![]() 罗德里格斯公式 ![]() 母函数 ![]() 微分方程 ![]() 递推公式 ![]() ![]() 正交性 区间(-1,1),权函数 ![]() 切比雪夫多项式在函数逼近及计算数学中用到。 埃尔米特多项式 Hn(x) 定义 ![]() 罗德里格斯公式 ![]() 母函数 ![]() 微分方程 ![]() 递推公式 ![]() ![]() 正交性 区间(-∞,∞);权函数 ![]() 拉盖尔多项式 L ![]() 定义 ![]() 罗德里格斯公式 ![]() 母函数 ![]() 微分方程 ![]() 递推公式 ![]() 正交性 条件α>-1;区间(0,∞);权函数xαe-x。 以上所列举的正交多项式都是经典的。在20世纪也引进了许多新的正交多项式,最引人注意的是与贝塞尔函数密切联系的贝塞尔多项式,其定义为 ![]() 参考书目 王竹溪、郭敦仁著:《特殊函数概论》,科学出版社,北京,1965。 小谷正雄、桥本英典著,钱瑞壮译:《特殊函数》,上海科学技术出版社,上海,1962。(小谷正雄、桥本英典著:《特殊函数》,岩波,東京,1958。) 莫叶:关于Legendre多项式,《数学进展》,Vol.12,No.4,1983。 |
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