词条 | 椭圆函数 |
释义 | tuoyuan hanshu 椭圆函数(卷名:数学) elliptic function 双周期的亚纯函数。它最初是从求椭圆弧长时引导出来的,所以称为椭圆函数。椭圆函数论可以说是复变函数论在19世纪发展中最光辉的成就之一。N.H.阿贝尔、C.G.J.雅可比和K.外尔斯特拉斯等人对此都有卓越的贡献。 一个函数ƒ(z),如果存在着常数T≠0(可以是复数),使对一切z均有 ƒ(z+T)=ƒ(z) (1)则称ƒ(z)为周期函数,T为其周期。可使周期T满足式(1)且有最小的模。 如果一函数ƒ(z)有两个周期2ω,2ω′,且 ![]() ![]() ![]() ![]() 只有极点的双周期解析函数ƒ(z)就是椭圆函数。不妨假设在p的周界上没有ƒ(z)的零点和极点,因为否则只要对复坐标z作适当平移变换便可达到目的。 由刘维尔定理知,双周期解析函数ƒ(z)如果没有奇点则必为常数。又由留数定理易证,ƒ(z)在p 中也不可能只有一个单极点。且可证明,ƒ(z)在p 中取任何值的点的个数包括极点的个数(重数也计入个数内)均相同。椭圆函数在p中极点的个数称作它的阶数。因此,(非常数的)椭圆函数至少是二阶的。 ξ函数与P函数 定义 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 任何椭圆函数均可通过 P(z)及其各阶导函数表出。 函数P(z)满足微分方程 ![]() ![]() ![]() σ函数 为了得到椭圆函数的一种方便的表示法,引进σ函数。 ![]() ![]() ![]() ![]() 任何 n阶椭圆函数ƒ(z),如分别以α1,α2,…,αn和β1,β2,…,βn为其零点和极点(计入重数),则总可使得 ![]() ![]() 如记 ![]() ![]() ![]() θ函数 在实际应用中,作变换 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 任何以2ω,2ω′为周期的椭圆函数ƒ(z),可通过θ函数表出: ![]() P(z)与 ![]() ![]() ![]() ![]() 雅可比椭圆函数 令 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 自守函数 椭圆函数 ƒ(z)具有这样一个特点:当z经过平移变换 ![]() 一般说来,设G ={T}为分式线性变换构成的群(但不是单位群,即不是由恒等变换一个元构成的群),又设ƒ(z)为某区域D中的亚纯函数,群G中的任何元T把D变成自身。且使 ![]() ![]() 自守函数理论是由H.庞加莱与F.克莱因等人在19世纪80年代建立起来的,它对复变函数论的许多分支以及微分方程都有重要影响。 |
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