词条 | 模函数 |
释义 | mohanshu 模函数(卷名:数学) modular function 定义在单位圆(或上半平面)内部且以其周界为自然边界的某种特殊解析函数。解析函数的许多经典理论如整函数理论中的皮卡定理、正规族理论中的一些判定定理,都可借助模函数的性质来证明。 如图1 ![]() 模函数w =ƒ(z)单值解析于|z|<1内,显然不取值0,1,∞,且当z从单位圆内部以任意方式趋于其周界上一点时,不可能有确定的极限值,因此|z|=1是其自然边界,即它不可能再向|z|=1之外进行解析开拓。 也可用一分式线性变换t=ω(z),|z|<1,把z变到t平面的上半平面,使A,B,C 分别变成实轴的α,b以及с=∞,而D0变成区域墹 0(图2 ![]() 设t=ω(z)的反函数为z=λ(t),则 w =ƒ(z)=ƒ(λ(t))=φ(t)就把t的上半平面映成w平面的上述黎曼曲面。φ(t)也称为模函数,其性质本质上与ƒ(z)相类似。 如果把构成模函数w=ƒ(z)过程中所作的种种关于圆弧的反演变换记为T1,T2,…,则对于任何Tj,ƒ(z)与ƒ(Tjz)互为共轭。因此,对任何两个Tj,Tk,恒有ƒ(z)=ƒ(TjTkz),即当z经过两次这类反演后,其函数值ƒ(z)不变。如果把偶数个这种反演及其逆作为元素,它们生成一变换群G,则当z经G任一元变换后,函数值ƒ(z)不变。称G为模函数w=ƒ(z)的不变群,也称ƒ(z)为关于群G 的自守函数(见椭圆函数)。 |
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