模糊逻辑(卷名：自动控制与系统工程)
fuzzy logic
研究模糊命题演算和模糊推理的一种非布尔逻辑。从研究内容上看，模糊逻辑是把数理逻辑的联结词的使用和真值表的取值作了相应的推广。它的发展与计算机科学的发展有关，在硬件方面主要是研究逻辑公式极小化，在软件方面主要是似然推理的研究。
发展简史 1965年美国控制理论家L.A.扎德发表《模糊集合论》，创立了模糊集理论。1966年P.N.马利诺斯发表关于模糊逻辑的内部研究报告，标志着模糊逻辑的正式诞生。70年代初扎德提出模糊语言变量的概念，并将其用于似然推理。1975年E.H.曼达尼把模糊逻辑与模糊语言用于工业控制，提出模糊控制论，使模糊逻辑进入实用阶段。美国学者J.A.戈根和H.J.斯卡勒等人对模糊逻辑进行了广泛而深入的研究。现在模糊逻辑已用于模糊控制、模糊语言、计算机科学和医疗诊断等方面。
真值集与语言真值 布尔逻辑所研究的命题，其真假能明确判定，可分别用1、0表示真、假，其真值集合L0＝{0，1}。对于模糊命题，只能谈论其真假程度，而不能简单地判断其真假,其真值集合L比L0复杂。最简单的情形是取L1＝[0，1]，这样的模糊逻辑就是连续值逻辑，仅使实际背景变得明确些。在多因素或多目标的应用场合，常取Ln＝[0，1]n。
模糊逻辑的研究重点是取L为语言值的集合L*屌｛真，较真，很真，假，较假，很假，未知，…｝。L*中的元素叫做语言真值，它们都是自然语言中的一些判断词。使用它们作为真值的逻辑叫做语言值逻辑，具有重要的应用价值。在语言值逻辑中，所有的语言真值均被描述成普通真值集L1上的模糊子集。例如,μ
(λ)屌λ，μ
(λ)屌1－λ，μ
（λ）屌λ2，μ
（λ）屌(1－λ)2,…。于是，L* 嶅 L
，语言值逻辑可以归结到L＝L的情形中去。真值演算 布尔逻辑中的谓词演算归结为真值集L0中的运算。为了定义模糊逻辑的谓词演算，先要定义真值演算。首先在L1中定义与（∧）、或（∨）、非(～)运算：a∧b屌min(ɑ，b)，a∨b屌max(ɑ，b),～a屌1-a。这些运算如在L0中定义就是布尔运算，因而它们就是布尔运算的推广。(L1，∧，∨,～)满足布尔代数的几乎所有公理，惟独不满足补余律。补余律是：对任意 a∈L0，都有a∨（～a）＝1，a∧（～a）＝0，它反映了事物的非此即彼性。模糊性所反映的是事物的亦此亦彼性，故在模糊逻辑中不再遵守补余律。（L1，∧，∨，～）被称为软代数。
针对各种不同的应用背景在L1中还定义了多种真值运算。L1中所定义的任意一种真值演算 *，都可以根据扩展原理（见模糊集）扩展成为L
中的运算圱。模糊谓词演算 给定真值集L以后，记嗘L(U)＝LU，称任一P∈
(U)为U上的一个模糊谓词。它是一个映射P：U→L。对任意u0∈U，以P[u0]表示语句“u0是P”,它称为模糊命题。模糊命题的真值由隶属度来规定：T(P[u0]) 屌 μp(u0)。
模糊谓词演算完全由真值演算来确定。设在 L中定义了真值运算∧,∨,～，则对任意P，Q(∈
(U),可定义(P∧Q)(u)屌P(u)∧Q(u)，(P∨Q)(u)屌P(u) ∨Q(u)，(～P)(u)屌～(P(u))。((U)),∧,∨，～)与（L，∧，∨，～）是同构的代数结构。模糊公式及其最小化 给定（L，∧，∨，～）及n个模糊变量 x1，…，xn,可用递归方法定义模糊公式如下:①0，1是模糊公式；②x1，…，xn都是模糊公式;③若f是模糊公式，则～f也是模糊公式；④若f，g是模糊公式，则f∧g，f∨g也是模糊公式。模糊公式仅限于这些公式。可类似于布尔逻辑那样定义字、子句、字组、模糊析取与合取范式等。由于补余律不再成立，所以模糊公式的最小化与布尔公式的最小化不同，在析取时xi∧（～xi）不能消去，在合取时 xi∨（～xi）不能消去。
似然推理 用模糊集合论来描述模糊推理过程称为似然推理，其基本形式是：
这里：u，v是变量，A，A′是U上的模糊谓词，B，B′是V上的模糊谓词。推理句“若u是A则v是B”（简记为（A→B）(u，v)）是U×V上的一个模糊谓词，亦即U与V 的一个模糊关系，定义为(A→B)(u，v)屌(A(u)∧B(u))∨(～A)(u)。当L＝L1时,也常采用卢卡西维茨的定义:(A→B)(u，v) 屌 (1－A(u)＋B(u))∧1。当L＝L0 时,这两种定义都合乎布尔逻辑蕴含式的定义。似然推理的公式是B′＝A′⋅（A→B），这里，⋅表示模糊关系的合成运算；
。∧,∨还可以分别取三角范式T及三角余范式S，构成似然推理的多种模式。还有多维的、多层的似然推理。模糊逻辑在系统、控制、识别和预测等方面都有广泛应用。模糊开关系统和模糊逻辑回路均可直接化成模糊公式最小化问题来加以解决。
参考书目
L.A.扎德著，陈国权译：《模糊集合、语言变量及模糊逻辑》，科学出版社，北京，1982。