函数逼近论(卷名：数学)
approximation of functions
函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下类问题:在选定的一类函数中寻找某个函数g，使它是已知函数ƒ在一定意义下的近似表示，并求出用g近似表示 ƒ而产生的误差。这就是函数逼近问题。在函数逼近问题中，用来逼近已知函数ƒ的函数类可以有不同的选择；即使函数类选定了，在该类函数中用作ƒ的近似表示的函数g的确定方式仍然是各式各样的;g对ƒ的近似程度（误差）也可以有各种不同的含义。所以函数逼近问题的提法具有多样的形式，其内容十分丰富。
逼近函数类 给定函数ƒ(x)，用来逼近ƒ(x)的函数一般要在某个较简单的函数类中找，这种函数类叫做逼近函数类。逼近函数类可以有多种选择。n次代数多项式，亦即一切形如
（其中α0，α1，…，αn是实数，k＝0，1，…）的函数的集合；n阶三角多项式，亦即一切形如
(其中α0，α1，…，αn，b1，b2，…，bn是实数，k=1，2，…）的函数的集合，这些是最常用的逼近函数类。其他如由代数多项式的比构成的有理分式集，由正交函数系的线性组合构成的（维数固定的）线性集，按照一定条件定义的样条函数集等也都是很有用的逼近函数类。在一个逼近问题中选择什么样的函数类作逼近函数类，这要取决于被逼近函数本身的特点，也和逼近问题的条件、要求等因素有关。逼近方法 给定ƒ并且选定了逼近函数类之后，如何在逼近函数类中确定作为ƒ的近似表示函数g的方法是多种多样的。例如插值就是用以确定逼近函数的一种常见方法。所谓插值就是要在逼近函数类中找一个g(x)，使它在一些预先指定的点上和ƒ(x)有相同的值，或者更一般地要求g(x)和ƒ(x)在这些指定点上某阶导数都有相同的值。利用插值方法来构造逼近多项式的做法在数学中已有相当久的历史。微积分中著名的泰勒多项式便是一种插值多项式。此外，在各种逼近问题中，线性算子也是广泛应用的一大类逼近工具。所谓线性算子是指某种逼近方法l，对于被逼近函数 ƒ、g，在逼近函数类中有l(ƒ)、l(g)近似表示它们，并且对于任意实数α、β都有l(αƒ+βg)=αl(ƒ)+βl(g)。线性算子逼近方法构造方便。一个典型的例子是2π周期的连续函数ƒ(x)的n 阶傅里叶部分和Sn(ƒ，x)，它定义了一个由2π周期的连续函数集到n阶三角多项式集内的线性算子Sn。Sn(ƒ，x)可以用来近似表示ƒ(x)。除了线性算子，在逼近问题中还发展了非线性的逼近方法。这方面最基本的工作是上世纪中叶由俄国数学家∏.Л.切比雪夫提出的最佳逼近。1859年切比雪夫结合机械设计问题的研究提出并讨论了下述类型的极值问题：已知[α，b]区间上的连续函数ƒ(x)，P(x，α0，α1，…，αn)是依赖于参数α0，α1，…，αn的初等函数(如多项式，有理分式)，用P(x， α0，α1，…，αn)来近似表示ƒ(x)，如果产生的误差用
来衡量，要求选择一组参数使误差最小。这就是寻求极小问题
的解。当参数 
给出最小误差时，就把
叫做ƒ(x)在P(x，α0，α1，…，αn)所构成的函数类中的一个最佳逼近元；数值 
叫做ƒ(x)借助于函数P(x， α0，α1，…，αn)来逼近时的最佳逼近值。切比雪夫研究了P(x， α0，α1，…，αn)是n次多项式（n 是固定整数， α0，α1，…，αn是系数，它们是可以任意取值的参数）的情形。这里的最佳逼近元
依赖于ƒ，但不是线性依赖关系。所以说切比雪夫的最佳逼近是一种非线性的逼近。误差 又称逼近度。为了衡量函数g对ƒ的近似程度（逼近度），在逼近论中广泛应用抽象度量空间内的度量概念。对于在逼近问题中经常遇到的一些函数类，常用到的度量有以下几种：①定义在[α，b]上的全体连续函数C[α，b]中任何两个函数ƒ(x)，g(x)的接近程度可以按公式
来规定。按这种度量引出的逼近度叫做一致逼近度；②定义在[α，b]上的全体平方可积函数l2[α，b]内任何两个函数ƒ(x)，g(x)的接近程度可按公式
来规定，这便是平方逼近度；③定义在[α，b]上的全体P 次幂可积函数lp[ α，b](p≥1)内可以取
作为度量，由它产生的逼近度叫做p次幂逼近度。函数逼近论的产生和发展概貌 从18世纪到19世纪初期，在L.欧拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里叶、J.-V.彭赛列等数学家的研究工作中已涉及一些个别的具体函数的最佳逼近问题。这些问题是从诸如绘图学、测地学、机械设计等方面的实际需要中提出的。在当时没有可能形成深刻的概念和统一的方法。切比雪夫提出了最佳逼近概念，研究了逼近函数类是n次多项式时最佳逼近元的性质，建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元的特征定理。他和他的学生们研究了与零的偏差最小的多项式的问题，得到了许多重要结果。已知[α，b]区间上的连续函数ƒ(x)，假定
，(n≥0)，量
叫做ƒ(x)的n阶最佳一致逼近值，也简称为最佳逼近值，简记为En(ƒ)。能使极小值实现的多项式
叫做 ƒ(x)的n阶最佳逼近多项式。切比雪夫证明了，在区间[-1，1]上函数xn+1的n阶最佳逼近多项式 
必满足关系式：
。多项式
就是著名的切比雪夫多项式。切比雪夫还证明了，
…＋
是ƒ(x)在[α，b]上的n 阶最佳逼近多项式的充分必要条件是：在[α，b]上存在着n+2个点:α≤x1＜x2＜…＜
≤b，在这些点上①
依照i=1，2，…，n+2的次序交错变号，② 
。点组{x1，x2，…，xn+2} 便是著名的切比雪夫交错组。1885年德国数学家K.（T.W.）外尔斯特拉斯在研究用多项式来一致逼近连续函数的问题时证明了一条定理，这条定理在原则上肯定了任何连续函数都可以用多项式以任何预先指定的精确度在函数的定义区间上一致地近似表示，但是没有指出应该如何选择多项式才能逼近得最好。如果考虑后一个问题，那么自然就需要考虑在次数不超过某个固定整数 n的一切多项式中如何来选择一个与ƒ(x)的一致误差最小的多项式的问题，而这正好是切比雪夫逼近的基本思想。所以可以说切比雪夫和外尔斯特拉斯是逼近论的现代发展的奠基者。
20世纪初在一批杰出的数学家，包括С.Η.伯恩斯坦、D．杰克森、C.de la瓦莱－普桑、H.L.勒贝格等人的积极参加下，开创了最佳逼近理论蓬勃发展的阶段。这一理论主要在以下几个方面取得了很大进展：
①最佳逼近的定量理论 在逼近论中系统地阐明函数的最佳逼近值En(ƒ)（借助于代数多项式来逼近，或者对2π周期函数借助于三角多项式来逼近，或借助于有理函数来逼近等等）的数列当n→∞时的性态和函数ƒ（x）的构造性质（可微性、光滑性、解析性等等）之间内在联系的理论统称为定量理论。下面叙述的定理比较典型地反映出函数的构造性质与其最佳逼近值之间的深刻联系。杰克森、伯恩斯坦、A.赞格蒙证明:2π周期函数ƒ(x)具有满足条件
或
的r阶导数ƒ(r)(r=0，1，2，…)的充分必要条件是，ƒ(x)借助于三角多项式的n阶最佳一致逼近值
（简称最佳逼近，简记为
）满足条件
，式中的M，A是不依赖于n的正的常数。对于[α，b]区间上的（不考虑周期性）连续函数借助于代数多项式的逼近值与函数构造性质间的联系也有和上述结果相类似的定理，不过情况比周期函数复杂多了。这一问题是在50年代由苏联数学家Α.Ф.季曼、Β.К.贾德克解决的。杰克森、伯恩斯坦等人的工作对逼近论的发展所产生的影响是深远的。沿着他们开辟的方向继续深入，到20世纪30年代中期出现了J.A.法瓦尔、Α.Η.柯尔莫哥洛夫关于周期可微函数类借助于三角多项式的最佳逼近的精确估计以及借助于傅里叶级数部分和的一致逼近的渐近精确估计的工作。这两个工作把从杰克森开始的逼近论的定量研究提高到一个新的水平。从那时起，直到60年代，以С.М.尼科利斯基、Α.И.阿希耶泽尔等人为代表的很多逼近论学者在定量研究方面继续有许多精深的研究工作。
②逼近论的定性理论 切比雪夫发现了连续函数的最佳逼近多项式的特征，提出了以切比雪夫交错点组著称的特征定理。最佳逼近多项式是惟一存在的。最佳逼近多项式的存在性、惟一性及其特征定理都是定性的结果，对这些问题的深入研究构成了逼近论定性研究的基本内容。匈牙利数学家A.哈尔在1918年首先研究了用广义多项式在[α，b]上对任意连续函数ƒ的最佳逼近多项式的惟一性问题。在[α，b]上给定n+1个线性无关的连续函数
。作为逼近函数类可取
，式中α0，α1，…，αn是任意参数。这样的P(x)称为广义多项式。记
是存在的。哈尔证明，为了对每一连续函数ƒ，惟一，必须而且只须任一不恒等于零的广义多项式P(x，α0，α1，…，αn)在[α， b]内至多有n个不同的根。在20世纪20～30年代，伯恩斯坦、М.Γ.克列因等人对满足哈尔条件的函数系
做过很多深入的研究。它在逼近论、插值论、样条分析、矩量论、数理统计中有着比较广泛的应用。关于最佳逼近多项式的切比雪夫特征定理也有很多进一步的研究和推广。其中最重要的一个推广是柯尔莫哥洛夫在1948年做出的，它涉及复平面的闭集上的复值连续函数借助于复值广义多项式的一致逼近问题（见复变函数逼近）。
对于lp[α，b]（1≤p<+∞）内的函数ƒ借助于广义多项式在p 次幂尺度下的逼近问题也建立了类似的一套定性理论。到50～60年代，经过一些学者的努力，抽象逼近的定性理论建立起来。
③线性算子的逼近理论 最佳逼近多项式和被逼近函数间的关系除了平方逼近的情形外一般都不是线性关系。线性关系比较简单，线性算子比较容易构造。所以在逼近论发展中人们一直非常重视对线性逼近方法的研究，形成了逼近论中一个很重要的分支──线性算子的逼近理论。针对特定的函数类、特定的逼近问题设计出构造简便、逼近性能良好的线性逼近方法与研究各种类型的线性逼近方法（算子）的逼近性能，一直是线性算子逼近理论的中心研究课题。在这一方面，几十年来取得了十分丰富的成果。比较著名的经典结果有E.B.沃罗诺夫斯卡娅、G.G.洛伦茨等对经典的伯恩斯坦多项式
的研究；柯尔莫哥洛夫、尼科利斯基等对周期可微函数的傅里叶级数部分和的逼近阶的渐近精确估计；40～60年代许多逼近论学者对作为逼近方法的傅里叶级数的线性求和过程逼近性能的研究（包括对傅里叶级数的费耶尔平均、泊松平均、瓦莱·普桑平均等经典的线性平均方法的研究）。50年代初期∏.∏.科罗夫金深入研究了线性正算子作为逼近方法的特征，开辟了单调算子逼近理论的新方向（见线性正算子逼近）。40年代中期法瓦尔在概括前人对线性算子逼近的研究成果的基础上，提出了线性算子的饱和性概念做为刻画算子的逼近性能的一个基本概念，开辟了算子饱和理论研究的新方向。④函数逼近的数值方法 从实际应用的角度来看，要解决一个函数的最佳逼近问题，需要构造出最佳逼近元和算出最佳逼近值。一般说要精确解决这两个问题十分困难。这种情况促使人们为寻求最佳逼近元的近似表示和最佳逼近值的近似估计而设计出各种数值方法。一个数值方法中包含着有限个确定的步骤，借助它对每一个函数ƒ可以在它的逼近函数类P(x，α0，α1，…，αn)中求出一个函数作为最佳逼近元的近似解，并且可以估计出误差。数值方法自然不限于函数的最佳逼近问题。在插值、求积（计算积分的近似值）、函数的展开理论中也都建立了相应的数值方法。近20年来由于快速电子计算机的广泛应用，数值逼近理论和方法的研究发展很快，成为计算数学和应用数学的重要分支。
除了以上列举的几个方向外，还发展了插值逼近、借助于非线性集（如有理函数）的逼近、联合逼近、在抽象空间内的逼近等等。
⑤多元函数的逼近 多元函数的逼近问题具有很重要的理论和实践意义。由于在多元函数的逼近问题中包含了很多为单变元情形所没有的新的困难，所以多元函数的逼近论比单变元情形的发展要慢得多和晚得多。在多元逼近的情形下已经研究得比较充分的一个基本问题是函数借助于三角多项式或指数型整函数的最佳逼近阶和函数（在一定意义下的）光滑性之间的关系。这一工作主要是由苏联学者尼柯利斯基和他的学生们于50～60年代完成的。它除了对函数逼近论本身有重要意义之外，还有很多重要应用。例如，对研究多元函数在低维子流形上的性质，多元函数在一定要求下的开拓问题等都有重要作用。后一类问题的研究属于泛函分析中的嵌入定理。近年来，在多元函数的线性算子逼近、插值逼近、样条逼近和用单变元函数的复合近似表示多元函数等方面都有所进展。
现在函数逼近论已成为函数理论中最活跃的分支之一。科学技术的蓬勃发展和快速电子计算机的广泛使用给它的发展以强大的刺激。现代数学的许多分支，包括基础数学中象拓扑、泛函分析、代数这样的抽象学科以及计算数学、数理方程、概率统计、应用数学中的一些分支都和逼近论有着这样那样的联系。函数逼近论正在从过去基本上属于古典分析的一个分支发展成为同许多数学分支相互交叉的、密切联系实际的、带有一定综合特色的分支学科。