群表示论(卷名：数学)
group representation theory
用具体的线性群（矩阵群）来描述群的理论，是研究群的最有力的工具之一。在19世纪末和20世纪初它由F.G.弗罗贝尼乌斯和W.伯恩赛德独立开创，而弗罗贝尼乌斯的工作则由I.舒尔所改善和简化。下面只论及有限群表示论。
设G是有限群，V是复数域 C上的有限维向量空间，GL（V）是V上全体可逆线性变换所组成的群。从G 映入GL(V)的一个同态
称为G的一个表示，而V称为ρ的表示空间。设U是V的一个子空间，若
，则称U是V（关于ρ）的一个不变子空间，这时ρ(g)在U上的限制就给出G的一个表示
如果没有非零真不变子空间，就说V是不可约表示空间，而ρ称为G的不可约表示；否则就说V和ρ是可约的。如果V有不可约不变子空间V1，V2，…，Vr使V是它们的直和即V=V1嘰…嘰Vr，就说ρ 是完全可约的。这时，若
，则记
，并说ρ分解成不可约表示ρ1，ρ2，…，ρr的和。有限群表示论的一个重要结果即马施克定理：有限群的任一表示都是完全可约的。因此，研究有限群的表示只要研究它的不可约表示就够了。设ρ:G→GL(V)是有限群G的一个表示。如果选V的一个基υ1，υ2…，υn，并令
那么映射
，g∈G，就是从G映入GLn(C)的同态，称为与ρ相应的G的矩阵表示。设相应于V的两个基，ρ分别相应矩阵表示
则有可逆矩阵p使
。（p实际上是V的两个基的转换矩阵），这时就说这两个矩阵表示是等价的。设ρ1和ρ2 是有限群 G的两个表示，表示空间分别是V1和 V2，如果有可逆线性映射 φ:V1→V2使
，凬υ1∈V1，g∈G，就说ρ1和ρ2是等价的。显然，两个表示等价，当且仅当它们相应的矩阵表示是等价的。等价的表示并不视为有什么本质区别。设H是有限群G的子群，x1，x2，…，xk是H在G中一左陪集代表系，ρ是H的一个表示。那么，对每个g∈G规定ρG：
，式中
ρG是G的一个表示，即所谓ρ的诱导表示。设ρ和ψ是G的两个表示，规定
，其中ρ(g)圱ψ(g)是矩阵ρ(g)和ψ(g)的克罗内克乘积，ρ圱ψ也是G的一个表示，即表示 ρ 与 ψ 的张量积。所谓 m×m 矩阵
和n×n矩阵 
的克罗内克乘积(张量积)，是指
。它是一个mn×mn矩阵。例如，当m＝2，n＝3时，
设ρ：G→GL(V)是有限群G的一个表示。令
，
，则ⅹρ是定义在G上的函数。显然它在G的共轭类上取相同的值，因此ⅹρ是G的类函数，ⅹρ称为表示ρ的特征标。当ρ不可约时，ⅹρ称为不可约特征标。特征标实际上确定了表示，可以证明，两个表示等价，当且仅当它们的特征标相等。利用特征标还可以证明，G只有有限个不同的不可约特征标，其个数恰好等于G的共轭类的个数。因此研究有限群的不可约特征标是有重要意义的。关于不可约特征标有所谓正交关系，即设ⅹ1，ⅹ2，…，ⅹc是G的不同的不可约特征标，g1，g2，…，gc是G的所有的不同的共轭类中的代表元，而h1，h2，…，hc是这些共轭类中元素个数，则有
，
，式中δij为克罗内克符号。诱导表示的特征标称为诱导特征标。表示的张量积的特征标是相应特征标的乘积。诱导特征标及与其有关的弗罗贝尼乌斯互反律和特征标乘积的分解，是表示论的主要工具。所谓弗罗贝尼乌斯互反律，即若ρ与ψ分别为G与H的不可约表示，则ψ在ρH(即ρ限制到H上)的完全分解中出现的重数等于ρ在诱导表示 ψG的完全分解中出现的重数。
对任意域F亦可象对复数域C那样定义表示空间、表示及特征标等。若F的特征不整除有限群G的阶，则仍然有表示的完全可约性，如果F 同时还是代数封闭的，那么用F代替C，以上的讨论成立。以n记有限群G的所有元素的阶的最小公倍数。H.马施克于1898年曾猜想G 的所有不可约表示皆可在n次分圆域Q(ξn)(ξn为n次本原单位根)中实现， 即如果ⅹ是G的一个(在复数域C上的)不可约特征标，那么存在一个矩阵表示
， 其特征标即ⅹ 。R.（D.）布饶尔在1945年证明了这个猜想。将群表示论应用于有限群的研究，最早的最著名的结果是伯恩赛德定理：阶为pαqβ的群是可解群，这里p、q是相异素数，α、β是非负整数。近年来这个定理虽已有了抽象群论的证明，但不如用表示论的原证简捷。
20世纪20年代，E.诺特强调了“模”这一代数结构的重要性，她把有限群G的表示ρ：G→GL(V)的表示空间V看成一个双模，即除了域F的元素作为算子（即V到V的自同态）外，还容许群环F[G]的元素
g1，g2，…，gn是G的全部元素）作为算子：
，并且适合条件
的模。反之，给定一个有限维F[G]的模V，显然每个g∈G在V上引起一个可逆线性变换，由此得到G的一个表示。对于F[G]的模，可以与上文完全平行地定义可约性、不可约性及完全可约性。一个F[G]的模是可约的或不可约的或完全可约的，当且仅当G的相应的表示是可约的或不可约的或完全可约的。所谓一个代数A是半单的，是指所有的A模都是完全可约的。因此群代数F[G]是半单的。这样，E.诺特就将代数结构论和群表示论融合为一，推进了这两个分支的发展。近50年来，布饶尔将群表示论的研究大为深化，他引进了模表示论，研究了群阶除尽域的特征的域上的表示，以及模表示与常表示（即C上的表示）的关系，而群表示论在有限群结构理论中起着日益重要的作用。在这方面的第一个重要结果是费特－汤姆森证明了有长期历史的伯恩赛德猜想：奇数阶群都是可解群。近年来则导致了有限单群分类问题的解决。（见有限单群）
有限群的表示论已推广到无限群，特别是局部紧拓扑群，这成为近代分析的一个主要领域，推广了经典的傅里叶分析。群表示论在理论物理和量子力学中有重要的应用。
参考书目
C.W.Curtis and I.Reiner，Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras，John Wiley and Sons， New York， 1962.
I.M.Issacs，character Theory of Finite Groups，Academic Press， New York， 1976.
W.Feit，Representation of Finite Groups，North-Holland， Amsterdam， 1982.