词条 | 选择公理 |
释义 | xuanze gongli 选择公理(卷名:数学) axiom of choice 公理集合论中的一条重要的公理,简记做AC。它可表述为:如果S是由不空的集合组成的一集合,则存在一个函数ƒ,使得对于S中的每一集合x,都有ƒ(x)∈x成立。换言之,当S是由某些不空集合组成的一集合,问是否存在一种原则(即函数ƒ),使得按照这一原则在S的每一集合x中都能恰好挑选出一个元素。在许多情况下,上述问题的答案是肯定的。但是在一般情况下,是否能肯定呢?当人们肯定回答时,它就称为选择公理。 19世纪,人们在数学论证中经常使用选择公理,但尚未深入研究它的不同的表现形式和推论。例如,1890年G.皮亚诺在证明常微分方程解的存在性定理时,陈述了选择公理,并且对它提出了怀疑。G.(F.P.)康托尔在研究序数理论时提出,是否每一集合都可良序的问题。1904年E.F.F.策梅洛证明了这一定理,即每一集合都是可以良序的。在证明中他用现代术语,严格地陈述了选择公理。G.康托尔最早使用选择公理的等价形式,即关于集合势的三分法原则:对于任意的集合S1与S2,下述三式 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 大量的事例说明选择公理是现代数学的一个基本原则和基本方法,没有它和它的等价形式,数学的许多分支将是寸步难行的。但是,选择公理是否合理和正确一直存在着争议。一些数学家怀疑、反对它,一些数学家毫无保留地赞同、应用它。各有各的理由。反对的理由之一是,按照它实数集合是可良序的,但至今人们没有找到它的良序。反对的理由之二是,1924年S.巴拿赫和A.塔尔斯基使用选择公理揭示了对球体的分解与组合的悖论(把一个球切成有穷个片断,然后再重新组合,可得到与原球有相同尺寸的两个球)。这样,选择公理就成了数学基础中的一个很突出的问题了。 60年代以来,J.迈切尔斯基等人提出一条相当基本的数学原理,称为决定性公理,并在此前提下证明了许多有趣的结果。例如:①实数的不空集合的每一可数集族都有一选择函数;②实数的每一集合都是勒贝格可测的。对于①选择公理是成立的;但对于②选择公理是不成立的。因为,使用选择公理就一定存在勒贝格不可测的集合。不难看出,上述①是选择公理的一种较弱的形式(对可数集合而言),而②的否定式是选择公理的一种较强的形式。有这样一种可能,就是选择公理的一般形式不成立,而它的某些较弱的形式是成立的。P.贝尔奈斯、塔尔斯基、库拉托夫斯基、P.莱维、J.D.哈尔佩恩和T.J.杰希等人系统地研究了选择公理的较弱的形式,并且证明了它们可以由选择公理推导出来,但它们不能推导出选择公理;同时也揭示了这些较弱的形式在各自的应用中都是不可缺少的。选择公理有如下一些弱的形式。 ① 次序原则(简记做 OP)对于每一集合都是能够线序的。 ② 对于n个元素集合族的选择(简记做Cn)对于任一具有n个元素的集合族S(即若x∈S,则x恰有n个元素),都有一函数ƒ,使得若x∈S,则ƒ(x)∈x。 ③ 对于有穷集合族的选择(简记做ACF)对于任一有穷的集合族S(即若x∈S,则x为一有穷集合),都有一函数ƒ,使得若x∈S,则ƒ(x)∈x。 ④ 序扩充原则(简记做 OEP)任一集合S的每一偏序都能够扩充到S的一线序(或称全序)。 ⑤ 挑选原则(简记做SP)对于每一集合族S(它的任一元至少有两个元素)都存在一函数ƒ,使得对于S中任一元x,都有ƒ(x)≠═且ƒ(x)是x的一真子集合。 ⑥ACW 对于任一良序集合,选择公理成立。 ⑦ 素理想定理(简记做PIT)每一布尔代数都有一素理想。 上述①~⑦都是AC的推论。用A→B表示A蕴涵B,即在无选择公理的ZF中,有ZF├A→B。用A ![]() ![]() ![]() 对于选择公理的研究说明,确立数学公理是十分严肃的科学研究工作,而绝不是能被少数数学家随心所欲的虚构。 参考书目 H.Rubin and J.E.Rubin,Equivalents of the Axiom of Choice, North-Holland, Amsterdam, 1963. T.J.Tech,The Axiom of Choice, North-Holland Ams-terdam, 1973. |
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