随机变量(卷名：数学)
random variable
随机试验结果的量的表示。例如掷一颗骰子出现的点数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数，随机抽查的一个人的身高，悬浮在液体中的微粒沿某一方向的位移，等等，都是随机变量的实例。
一个随机试验的可能结果（称为基本事件）的全体组成一个基本空间 Ω(见概率)。随机变量x是定义于Ω上的函数，即对每一基本事件ω ∈Ω，有一数值x(ω)与之对应。以掷一颗骰子的随机试验为例，它的所有可能结果见
，共6个，分别记作ω1，ω2，ω3，ω4，ω5，ω6，这时，Ω={ω1，ω2，ω3，ω4，ω5，ω6}，而出现的点数这个随机变量x，就是Ω上的函数x(ωk)=k，k=1，2，…，6。又如设Ω={ω1，ω2，…，ωn}是要进行抽查的n个人的全体，那么随意抽查其中一人的身高和体重，就构成两个随机变量x和Y，它们分别是Ω上的函数：x(ωk)=“ωk的身高”，Y(ωk)=“ωk的体重”，k=1，2，…，n。一般说来，一个随机变量所取的值可以是离散的（如掷一颗骰子的点数只取1到6的整数，电话台收到的呼叫次数只取非负整数），也可以充满一个数值区间，或整个实数轴（如液体中悬浮的微粒沿某一方向的位移）。在研究随机变量的性质时，确定和计算它取某个数值或落入某个数值区间内的概率是特别重要的。因此，随机变量取某个数值或落入某个数值区间这样的基本事件的集合，应当属于所考虑的事件域。根据这样的直观想法，利用概率论公理化的语言，取实数值的随机变量的数学定义可确切地表述如下:概率空间(Ω，F，p)上的随机变量x是定义于Ω上的实值可测函数，即对任意ω∈Ω，x(ω)为实数，且对任意实数x，使x(ω)≤x的一切ω组成的Ω的子集{ω:x(ω)≤x}是事件，也即是F中的元素。事件{ω:x(ω)≤x}常简记作{x ≤x}，并称函数 F(x)＝p(x ≤x)，-∞＜x＜∞ ，为x的分布函数。
设x，Y是概率空间(Ω，F，p)上的两个随机变量，如果除去一个零概率事件外，x(ω)与Y(ω)相同，则称x=Y以概率1成立，也记作p(X=Y)=1或X=Y，α.s.（α.s.意即几乎必然）。
有些随机现象需要同时用多个随机变量来描述。例如对地面目标射击，弹着点的位置需要两个坐标才能确定，因此研究它要同时考虑两个随机变量，一般称同一概率空间(Ω，F，p)上的n个随机变量构成的n维向量X=(x1，x2，…，xn)为n维随机向量。随机变量可以看作一维随机向量。称n元x1，x2，…，xn的函数
为X的(联合)分布函数。又如果(x1，x2)为二维随机向量，则称x1+ix 2(i2=-1)为复随机变量。随机变量的独立性 独立性是概率论所独有的一个重要概念。设x1，x2，…，xn是n个随机变量，如果对任何n个实数x1，x2，…，xn都有
即它们的联合分布函数F(x1，x2，…，xn)等于它们各自的分布函数F1(x1)，F2(x2)，…，Fn(xn)的乘积，即
则称x1，x2，…，xn是独立的。这一定义可以直接推广到每一xk(k=1，2，…，n)是随机向量的情形。独立性的直观意义是：x1，x2，…，xn中的任何一个取值的概率规律，并不随其中的其他随机变量取什么值而改变。在实际问题中通常用它来表征多个独立操作的随机试验结果或多种有独立来源的随机因素的概率特性，因此它对于概率统计的应用是十分重要的。从随机变量(或向量)x1，x2，…，xn的独立性还可以推出：设Bk是xk取值的空间中的任意波莱尔集，k=1，2，…，n，则有
设x1，x2，…，xn是独立的，则它们中的任意个都是独立的。但逆之即使其中任何n-1个是独立的，也不保证x1，x2，…，xn是独立的。又如果ƒj(x)，i=1，2，…，n，是n个连续函数或初等函数(或更一般的波莱尔可测函数)，则从x1，x2，…，xn的独立性可推出ƒ1(x1)，ƒ2(x2)，…，ƒn(xn)也独立。如果随机变量(随机向量)序列x1，x2，…，xn，…中任何有限个都独立，则称之为独立随机变量（随机向量）序列。
关于随机变量的矩、特征函数、母函数及半不变量，分别见数学期望、方差、矩及概率分布。