随机过程(卷名：数学)
stochastic process
随时间推进的随机现象的数学抽象。例如，某地第n年的年降水量xn由于受许多随机因素的影响，它本身具有随机性，因此{xn，n=1，2，…}便是一个随机过程。类似地，森林中某种动物的头数，液体中受分子碰撞而作布朗运动的粒子位置，百货公司每天的顾客数，等等，都随时间变化而形成随机过程。严格说来，现实中大多数过程都具有程度不同的随机性。
气体分子运动时，由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度，其运动的过程是随机的。人们希望知道，运动的轨道有什么性质(是否连续、可微等等)？分子从一点出发能达到某区域的概率有多大？如果有两类分子同时运动，由于扩散而互相渗透，那么扩散是如何进行的，要经过多久其混合才会变得均匀？又如，在一定时间内，放射性物质中有多少原子会分裂或转化？电话交换台将收到多少次呼唤？机器会出现多少次故障？物价如何波动？这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。
一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分)，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路；近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。
研究随机过程的方法是多样的，主要可分为两大类：一是概率方法，其中用到轨道性质、停时、随机微分方程等；另一是分析方法，工具是测度论、微分方程、半群理论、函数论、希尔伯特空间等。但许多重要结果往往是由两者并用而取得的。此外，组合方法、代数方法在某些特殊随机过程的研究中也起一定的作用。研究的主要课题有：多指标随机过程、流形上的随机过程与随机微分方程以及它们与微分几何的关系、无穷质点马尔可夫过程、概率与位势、各种特殊过程的专题讨论等。
随机过程论的强大生命力来源于理论本身的内部，来源于其他数学分支如位势论、微分方程、力学、复变函数论等与随机过程论的相互渗透和彼此促进，而更重要的是来源于生产活动、科学研究和工程技术中的大量实际问题所提出的要求。目前随机过程论已得到广泛的应用，特别是对统计物理、放射性问题、原子反应、天体物理、化学反应、生物中的群体生长、遗传、传染病问题、排队论、信息论、可靠性、经济数学以及自动控制、无线电技术等的作用更为显著。
随机过程的定义 设 (Ω，F，p)为概率空间（见概率），T为指标t的集合（通常视t为时间），如果对每个t∈T，有定义在Ω上的实随机变量x(t)与之对应，就称随机变量族x＝{x(t)，t∈T}为一随机过程（简称过程）。研究得最多的是T 为实数集R＝(-∞，∞)的子集的情形；如果T为整数n的集，也称{xn}为随机序列。如果T是d维欧几里得空间Rd（d为大于1的正整数）的子集，则称x为多指标随机过程。
过程x实际上是两个变元(t，ω)(t∈T，ω ∈Ω)的函数，当t固定时，它是一个随机变量；当ω固定时，它是t的函数，称此函数为随机过程（对应于ω）的轨道或样本函数。
如不限于实值情况，可将随机变量与随机过程的概念作如下一般化:设(E，ε)为可测空间（即E为任意非空集，ε为E的某些子集组成的σ域），称x=(x(ω)， ω∈Ω)为取值于E的随机元，如果对任一B∈ε，{ω:x(ω)∈B}∈F。特别，如果
为Rd中全体波莱尔集所成的σ域（称波莱尔域），则取值于Rd中的随机元即d维随机向量。如果
其中RT为全体实值函数ƒ=(ƒ(t)，t∈T)的集，而
为包含一切RT中有限维柱集 
的最小σ域，则取值于E的随机元x 即为上述的(实值)随机过程。如对每个t∈T，有取值于E 的随机元x(t)与之对应，则称{x(t)，t∈T}为取值于E的随机过程。以下如无特别声明，只讨论取值于(R 1，B1)的随机过程。
有穷维分布族 一维分布函数描述了随机变量取值的概率规律（见概率分布），对随机过程x={x(t)，t∈T}起类似作用的是它的全体有穷维分布函数：对任意 n个tj∈T，i＝1，2，…，n，考虑
的联合分布函数
，
，全体联合分布
称为x 的有穷维分布族，它显然满足下列相容性条件：① 对(1，2，…，n)的任一排列(λ1，λ2，…，λn)，
；② 若m<n，则
。反之，有著名的柯尔莫哥洛夫定理：设已给T及一族分布函数
如果它满足①、②，则必存在概率空间(Ω，F，p)及定义于其上的随机过程x，而且x的有穷维分布族重合于F。从测度论的观点看，每一随机过程x={x(t)，t∈T}在(RT，BT)上产生一概率测度PX，称为x 的分布，它在上述柱集上的值就是
正态过程 有穷维分布都是正态分布的随机过程，又称高斯过程。就象一维正态分布被它的均值（见数学期望）和方差所确定一样，正态过程{x(t)，t∈T}被它的均值函数m(t)=Ex(t)和协方差函数
λ(s，t)=Ex(s)x(t)-m(s)m(t)所确定，其中λ(s，t)是对称非负定函数，即λ(s，t)=λ(t，s)，而且对任意的 tj∈T及实数αj，1≤i≤n，有
反之，对任给的有限实值函数m(t)和对称非负定函数λ(s，t)，由柯尔莫哥洛夫定理可证，存在一个正态过程，以m(t)为其均值函数，以λ(s，t)为其协方差函数。根据中心极限定理，许多实际问题中出现的随机过程可近似地视为正态过程。此外，正态过程有一系列的好性质，如它的最佳线性估计重合于条件期望，这一点在应用上是很方便的，既准确又便于计算。因此正态过程在实际中有广泛的应用，在无线电通讯及自动控制中尤为重要。为方便计，设m(t)呏0。任取tj，t∈T，用L(x(t1)，x(t2)， …，x(tn))表示由x(t1)，x(t2)，…，x(tn)的线性组合所构成的希尔伯特空间，x(t)在此空间上的投影记作
称为x(t)关于x(t1)，x(t2)，…，x(tn)的最佳线性估计，即线性最小均方误差估计;条件期望E(x(t)|x(t1)，x(t2)，…，x(tn))则是非线性的最小均方误差估计。对正态过程来讲，这两种估计以概率1相等。可分性 设F是p-完备的，即F包含任何概率为零的集的一切子集。在随机过程的研究中，Ω的某些重要的子集并不能由事件（即F中的元素）经可列次集运算而得到。例如
对一切
若T不可列，则作为不可列多个事件的交，A未必是一个事件，也就谈不上它的概率。为了解决这类问题，杜布引进了随机过程可分性的概念。称过程x 关于T 的某一可列稠集Q可分(或简称可分)，是指除了一个概率为零的集N外，x在每一t∈T 处的值，可以用限于Q的x在t附近的值来任意逼近；即任给不属于N的ω，存在{rj}∈Q，使得rj→t，且x(rj，ω)→x(t，ω)。所谓Q为T 的稠集，是指T 的每一点必是Q 中某个点列的极限。如果x 关于Q 可分，则可以证明上述的 A是一个事件，而且有p(A)＝p({ω:|x(r，ω)|≤α，对一切r∈Q})。如果过程x关于T的任一可列稠集都可分，则称x完全可分。设x={x(t)，t∈T}与Y={Y(t)，t∈T}为定义在概率空间(Ω，F，p)，上的两个随机过程，如果对任何t∈T，p(x(t)=Y(t))=1，则称x与Y等价(x与Y互为修正)；这时，x和Y有相同的有穷维分布族。虽然任给的过程 x未必可分，但杜布证明了下列重要结果：对任一过程x，必存在与它等价的可分过程Y 。因此在讨论仅与有穷维分布有关的性质时，可取一可分过程Y来代替x。
过程x称为随机连续，如果对任一t0∈T，在依概率收敛的意义下(见概率论中的收敛)有
，对随机连续的过程x，必存在一个完全可分过程Y与之等价。可测性 为了研究样本函数对t的积分等问题，需要x(t，ω)关于两个变量(t，ω)的可测性。设T是R中某区间，B(T)是T中全体波莱尔集所成的σ域，B(T)×F表示乘积σ域，μ=L×P表示勒贝格测度L(见测度论）与p的乘积测度，
表示 B(T)×F关于μ的完备化σ域。称随机过程x为可测的，如果对任一实数α，有
：
称随机过程x 为波莱尔可测的，如果对任一实数α，有
。如果过程x 随机连续，则必存在与x 等价的、可测而且完全可分的过程Y。有时还需要更强的可测性。设给了F的一族子σ 域{
，t∈T}，其中T=R+=[0，∞)，满足：①单调性，对s≤t，
嶅
；②右连续性， 
③完备性，F0包含F 的一切概率为零的集。称x 为{
}-适应的，如果对任一t，xt为可测；称xt为{}-循序可测的，如果对任一t∈T 及实数α，有{(s，ω):x(s，ω)≤α， s≤t}
([0，t])×
。循序可测过程一定是适应的而且是波莱尔可测的，但逆之不然，除非样本函数性质较好。例如所有样本函数都右连续的适应过程一定是循序可测。使一切样本函数右连续的适应过程都可测的T×Ω上的最小σ域，称为可选σ域，关于可选σ域可测的过程称为可选过程。可见，可选可测性是比循序可测性更强的一种可测性。进一步，使一切样本函数连续的适应过程都可测的T ×Ω上的最小σ域，称为可料σ域，关于可料σ域可测的过程称为可料过程。这又是一种比可选可测性更强的可测性。可以证明，样本函数左连续的适应过程都是可料过程。
轨道性质 当人们观察物体作随机运动时，最感兴趣的问题之一是它的轨道性状，因此随机过程论中一个重要问题是研究轨道性质，例如探讨在什么条件下，过程的轨道x(t，ω)， α≤t≤b，以概率1有界，或无第二类断点，或是阶梯函数，或是连续函数，等等。函数ƒ(t)在[α，b]上无第二类断点是指：对每一个t0∈(α，b)，存在左、右极限
及 
而在α、b)处，则存在单侧极限。设过程{x(t)， t∈[α，b]}可分，而且存在常数α>0，ε>0，с≥0，使得对任意的t∈[α，b]，t+Δt∈[α，b]，有
，则过程的轨道以概率1在[α，b]上一致连续。设可分过程{x(t)，t∈[α，b]}随机连续，而且存在常数p>0，q>0，r>0，с≥0，使得对任意的α≤t1≤t2≤t3≤b，有
则过程的轨道以概率 1无第二类断点。正态过程的轨道性质有更好的结果:对均值函数m(t)呏0的可分正态过程{x(t)，t∈[α，b]}，只要存在с≥0，α>0，使得
，x的轨道就以概率1连续。停时 这一概念的引进是随机过程论发展史中的一件大事，它带来了许多新的研究课题，而且扩大了理论的应用范围。早在1945年，J.L.杜布关于马尔可夫链的文章中已经有了停时的思想。60年代杜布、Ε.Б.登金（又译邓肯）、R.M.布卢门塔尔等应用停时于鞅及强马尔可夫过程的研究；70年代，由于法国概率论学派的工作而使停时的理论更加完善。
直观上，停时是描述某种随机现象发生的时刻，它是普通时间变量t的随机化。例如，灯泡的寿命、一场球赛持续的时间都可看成是停时。又如，作随机运动的粒子首次到达某集A 的时刻τ，τ(ω)=inf{t>0，x(t，ω)∈A}，且约定inf═＝∞，当x 的轨道连续而且A是一个闭集时，τ就是一个停时，它是一个随机变量，而且对任何t≥0，{τ≤t}∈σ{x(u)，u≤t}。
一般地，设在可测空间(Ω，F)中已给F的一族单调、右连续、完备的子σ 域族{
，t∈R+}，称定义在Ω上的非负可测函数τ=τ(ω)（可取+∞为值）为 停时，如果对任意 t≥0，总有{τ≤t}∈。这一定义的直观背景是：把理解为到t为止的全部信息，一个可观测的随机现象发生的时刻τ是否不迟于t这一信息应包含在之中。类似于
，对停时τ可以定义σ域
，其中
为包含一切
的最小σ域。Fτ可理解为过程到τ为止的全部信息。停时有许多好的性质，例如，若τ1、τ2是停时，则τ1∨τ2、τ1∧τ2也是停时，其中
，
;还有
，这里
表示包含
、
的最小σ域；进一步，若{τn}是一列停时，则
也是停时。更细致地研究停时，需要对其进行分类，重要的类型有可料时、绝不可及时等。二阶过程 均值和方差都有限的实值或复值随机过程称为二阶过程。二阶过程理论的重要结果之一是它的积分表示。设F是可测空间(Λ，A)上的有限测度，如果对每一A∈A，有一复值随机变量Z(A)与它对应，且满足：①E|Z(A)|2< ∞；②
则称Z＝{Z(A)，A∈A}为(Λ，A)上的正交随机测度。定义在Λ上、关于A可测而且关于F平方可积的函数全体记为L2（Λ，A，F）。给了一个正交随机测度Z，一族函数
，
， 就可以产生一个二阶过程
，满足
(1)它的二阶矩为
。 (2)反之，对给定的二阶过程，只要它的二阶矩有积分表示(2)，就一定存在一个正交随机测度Z，使过程本身有积分表示(1)。(1)和(2)分别称为过程x和它的二阶矩的谱表示。对均方连续的实二阶过程{x(t)，t∈[α，b)]}，则有级数展开式 
其中{ηn}是标准正交实随机变量序列，即
；δnm=0，n=m时，δnm=1)，λn是积分方程
的本征值，ψn是相应的本征函数Γ(t，s)=Ex(t)x(s)。
特殊随机过程类 对过程的概率结构作各种假设，便得到各类特殊的随机过程。除上述正态过程、二阶过程外，重要的还有独立增量过程、马尔可夫过程、平稳过程、鞅点过程和分支过程等。贯穿这些过程类的有两个最重要最基本的过程，布朗运动和泊松过程，它们的结构比较简单，便于研究而应用又很广泛。从它们出发，可以构造出许多其他过程。这两种过程的轨道性质不同，前者连续而后者则是上升的阶梯函数。
广义过程 正如从普通函数发展到广义函数一样，随机过程也可发展到广义过程。设D为R上全体无穷次可微且支集有界的实值函数φ的集，定义在D上的连续线性泛函称为广义函数、全体广义函数的集记为Dx。考虑D×Ω上的二元函数x(φ，ω)，如果对固定的ω，x(·，ω)∈Dx是广义函数，而对固定的φ，x(φ，·)是随机变量，则称{x(φ，ω):φ∈D}为定义在(Ω，F，p)上的广义过程。它在φ1，φ2，…，φn上的联合分布为
全体这种联合分布构成了广义过程x的"有穷维分布族"。前两阶矩分别称为均值泛函
和相关泛函 
根据有穷维分布族的性质，也可以定义特殊的广义过程类，象广义平稳过程、广义正态过程等。例如，若对D中任意有限个线性独立函数φ1，φ2，…，φn，有限维分布
都是正态分布，则称x＝{x(φ，ω)}为广义正态过程。参考书目
J.L.Doob，Stochastic Processes， John Wiley & Sons， New York， 1953.
M.Loève， Probability Theory，4th ed.，Springer-Verlag，New York， 1978.
王梓坤著：《随机过程论》，科学出版社，北京，1965。
严加安编著：《鞅与随机积分引论》，上海科学技术出版社，上海，1981。