词条 | 随机过程统计 |
释义 | suiji guocheng tongji 随机过程统计(卷名:数学) statistics of stochastic process 根据观测对随机过程进行统计推断的理论与方法。把观测所获得的数据记为{xn,n=0,1,2,…}或{xt,t≥0},它是从一个随机过程抽得的样本。为了得到描述这一随机过程变化的统计规律,必须对它的分布(见概率分布)或某些特征作出推断。例如检验它是否为某种特殊的随机过程,估计其分布中的某些参数等等。这些都属于随机过程的统计问题。 早在数理统计学发展的初期,人们就已对随时间推进的观测结果运用各种统计分析方法来研究,例如,根据天文资料寻找其变化的隐蔽周期。但当时的研究还只是限于相互独立观测的情形。20世纪30年代,由于描述社会或市场上某些经济指标变化的需要,必须对不独立的观测结果{xn}进行分析。例如,考虑如何寻找一个自回归模型 ![]() 依赖于密度的统计方法 设x={x(t),0≤t≤T}为随机过程、{pθ,θ∈ ![]() ![]() ![]() ![]() 关于随机过程概率分布间的绝对连续性与奇异性及其密度的问题,可利用鞅收敛定理证明如下的一般结果:若随机连续的过程{x(t),0≤t≤T}在样本空间上的可能概率分布为p0与p1,{tn,n≥1}为[0,T]中的可列稠集。对x作有限次观测{x(t1),x(t2),…,x(tn)},其相应的有限维分布为 p ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 对于正态过程,其分布间的绝对连续性问题的讨论开始最早。1958年J.哈耶克和J.费尔德曼独立地证明了:对具有不同协方差函数和均值函数的正态过程,其概率分布之间或者相互绝对连续,或者相互奇异,并用不同方式给出了各自成立的条件。特别,若{xn,n≥1}为相互独立的正态随机变量序列,在p0、p1下,xn的概率分布分别为 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 对于马尔可夫链(见马尔可夫过程),往往可以利用转移概率或Q 矩阵直接写出其分布密度及似然函数。这时, 对于转移概率、Q矩阵或概率分布中的未知参数,就可运用最大似然估计法或似然比检验进行推断。例如设{x(t),0≤t≤T}为生灭过程,x(0)=1,λ、μ分别表示其生灭强度。若以B(t)、D(t)分别表示x在[0,t]中生殖和死亡的总数,记 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 对于状态连续的马尔可夫过程,讨论得较多的是由随机微分方程 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 关于过程概率分布间的绝对连续性问题,对独立增量过程也有较完善的讨论。70年代后,鞅论方法已用于对这一问题的讨论,且对半鞅也给出了概率分布间绝对连续的条件及密度的泛函形式。这些都为过程统计的发展开辟了道路。 不依赖于密度的统计方法 在许多实际问题的模型中,常把被观测的随机过程记为Z(t)=m(t)+x(t),其中非随机项 ![]() 对Z的统计分析常考虑下列问题:回归系数αυ的估计,均值函数中其他参数θ(例如隐蔽周期)的估计,x的统计特征(包括协方差函数、谱密度等)的估计及有限参数模型拟合等(见时间序列分析)。 过程统计从其任务来看,本质上与数理统计是一致的。但过程统计处理的不独立随机变量的统计问题远较独立随机变量的相应问题来得复杂。过程统计的各种方法及其论证,更多地用到随机过程论的许多成果。随着随机过程应用领域的扩大和理论研究的深入,各种过程统计方法也愈广泛地被采用,其理论也将日趋完善。 参考书目 I.V.Basawa and B.L.S.Prakasa Rao,Statistical lnference for Stochastic Processes, Academic Press, New York,1980. U. Grenander, Abstract lnference,John Wiley & Sons,New York, 1981. |
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