频谱分析方法建模(卷名：自动控制与系统工程)
modelling via spectral analysis
利用对频谱（频率的函数）的分析建立系统数学模型的方法，也就是根据系统对激励信号(又称输入信号)的响应（又称输出信号）按频率域内的分布规律来建模。在线性系统的情况下，根据输入信号的傅里叶变换和输出信号的傅里叶变换可以得到系统的传递函数。利用不同频率的正弦信号进行激励并测量系统的响应，是建立系统传递函数模型的一种常用方法。谱分析方法所用的激励信号是具有从零到某一最大频率范围内的宽带信号，很便于测量，而且符合系统的实际运行状态。这种激励信号通常可通过纯粹随机过程（或某种瞬变过程）产生，因为它的能量在频率域内分布较宽，可以对系统的响应同时作较全面的测量。如果系统是定常的和稳定的，则在随机信号作用下的输出也是随机过程。根据维纳的广义谐波分析理论，一个平稳随机过程x(t)的谱表达式为傅里叶-斯梯尔吉斯积分，即
,这里t表示时间，ω表示频率，z(ω)为正交过程(不同ω处dz(ω)的协方差为零)。简单地说,上式是把x(t)分解为具有随机振幅|dz(ω)|和随机相位arg dz(ω)的正弦函数之和。在时间域中表达系统的输出响应随时间变化的关系时必须同时考虑当时输入和既往输入的全部影响，因此需要采用卷积运算。但在频率域内表达输出响应和输入作用之间的关系比较简单，如果以u（t）表示输入，以y(t)表示输出，并假设有与输入无关的噪声n(t)叠加在输出端，则根据与频率响应类似的道理有
式中φ(ω) 就是系统的传递函数。这个关系可以看作是
的线性回归。利用统计学方法可以得出φ(ω)的最小二乘估计是
式中Gyu(ω)是y(t)和u(t)的互谱,Guu(ω)是u(t)的自谱或功率谱。它们满足关系式：
工程上常用适当方法对系统输入宽频带激励信号，然后记录输入和输出过程，经过计算处理得到Gyu(ω)和Guu(ω)的估计（为减小估计方差，常用总体平均的方法处理）,从而求出
的曲线。用某种函数，例如ω 的有理函数，在有效的频率范围内逼近上述函数，便可得到传递函数的数学模型。传递函数表示u(t)和y(t)之间的线性关系，而噪声和系统的非线性因素都会削弱这种关系。表征u（t）和y(t)间线性相依程度的频率函数是相干函数，它的表达式为
并可解释为输出功率中归因于输入的部分在总的输出功率中所占的比率。如果在任何频率处r2呏1,则线性关系是严格的，否则r2就有可能小于 1。对于非平稳的情况（例如系统是时变的），则一般要引入时变频谱，以描述每一瞬时不同频率的功率分布。对于非线性模型的理论，在一般情况下要用无限多个频率函数来描述非线性关系。工程上较为实用的是一些特定形式的非线性模型。
频谱分析建模方法融合了传统的傅里叶变换技术、统计估值理论、系统辨识和计算技术等方面的知识和成果，它的应用领域涉及地球物理、雷达、声呐、图像识别、语音识别、振动模态、海洋资源勘探、生物医学和生态系统等各个方面。