从变分问题、积分方程和理论物理的研究中发展起来的数学分科。形成于20世纪30年代。它综合运用函数论、几何学、代数学的观点来研究无限维向量空间（如函数空间）上的函数（也称泛函）、算子和极限理论。它可以看做无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间（特别是巴拿赫空间、希尔伯特空间）及其算子理论、广义函数论、非线性泛函分析等。泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。