词条 | 交换环 |
释义 | jiaohuanhuan 交换环(卷名:数学) commutative ring 乘法适合交换律的环。对交换环只有“理想”、“零化子”、“零因子”、“极小(大)条件”等定义,而不区分“左”“右”。无零因子的交换环叫做整环。数环与域F上的多项式环F[x]都是整环。整环不一定有单位元素,如偶数环。整环上的多项式环仍为整环。 设R为有正则元的交换环。如果S是R中一些正则元作成的乘法封闭集合(即S中任二元素之积仍在S中),那么R可扩张成一个有单位元素的交换环 ![]() 局部化 设R是一个有单位元素e的交换环。它一定含有极大理想。所谓极大理想,是指R的一个理想N,满足条件:N<R,且N与R之间不能再介入R的其他理想。R的一个理想N是极大理想,必要而且只要,剩余类环R/N是域。当R只含一个极大理想时,就称之为局部环;当R只含有限多个极大理想时,就称之为半局部环。设P是R的一个质理想,S是P在R中的余集,在 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 高斯环 若R中有α=bс,则b称为α的一个因子,自然,с也是α的一个因子。或者α称为b的倍元,也称为b整除α,记为b|α。显然单位元素e是任意元素的因子,零元素θ是任意元素的倍元。R中一个有逆元素的元素,也称为R中的一个单位。例如,单位元素e就是一个单位;在整数环中,1与-1是仅有的两个单位;在多项式环F[x]中,一个元素为单位,必要而且只要,它是零次多项式(即域F中的非零元素)。环R中两个非零元素α与b如果能互相整除,即α|b且b|α,那么就说α与b相通。两个非零元素α与b是相通的,必要而且只要,有R中的单位δ使α=bδ。如果非零元素α=bс,且b与с均非单位,那么就说b是α的一个真因子(自然,с也是α的一个真因子)。如果非零元素α不是单位,且无真因子,那么就说α是一个不可约元素。如果非零元素p不是单位,且具有“当p|αb时,必有p|α或p|b”之性质,那么就说p是一个质元素。R中的质元素恒为不可约元素,但是反过来说就未必正确。例如在数环 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ① R中真因子的降链α1,α2,…必止于有限处,即从任意非零非单位α1开始,若α1有真因子α2,α2又有真因子α3,如此下去,到某步必得出一个不可约元素,设其为αn,于是真因子的降链α1,α2,…即到αn为止。 ② R中的不可约元素恒为质元素。 ③ R中任意两个不全为零的元素恒有最高公因子。 若R为高斯环,则R[x]亦然。于是域F上的多项式环F[x1,x2,…,xn]恒为高斯环。如果有e的整环R的理想恒为主理想(即由一个元素生成的理想),那么就说R是一个主理想环。有e的整环R是一个主理想环,必要而且只要满足上述条件①与如下的条件④:R中任意不全为零的α、b恒有一个形式上为αs+bt的最高公因子。因此,主理想环恒为高斯环,但是反之则未必然。设R为有e的整环。如果对R中每个非零元α,恒有非负整数‖α‖与之相应,并对R中任意α,b(α≠θ),恒有q、r∈R使 b=qα+r,且r=θ或者‖r‖<‖α‖,那么就说R是一个欧氏环。欧氏环恒为主理想环,但是反之则未必然。整数环I为欧氏环,从而为主理想环,但是多项式环I[x]仅为高斯环,而非主理想环。 诺特环 一个交换环R的所有幂零元素构成R的一个理想K,称为R的克德根或幂零根。如果一个交换环除幂零元素外,不再含其他的零因子,便称为准整环。整环显然为准整环。设R是一个交换环。R的一个理想P为素理想,必要而且只要R/P为整环;R的一个理想Q叫做准素理想,如果R/Q为准整环;R的一个理想A叫做可分解的,如果有R的理想B、C,使A<B,A<C,A=B∩C,否则便说A是不可分解的;R的素理想恒为不可分解的;当R为诺特环(即其理想满足极大条件)时,R的不可分解的理想恒为准素理想,R的克德根必为幂零理想;当R为准整环时,R的克德根必为素理想。设Q为交换环R的任意一个准素理想,于是垪 =R/Q为准整环,其克德根噖为素理想,从而 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() (A.)E.诺特于1921年引进一般的满足极大条件的交换环而研究其理想论,这是由于代数几何的发展而需要研究多项式环的理想理论,后者的主要问题是判断一个多项式ƒ是否属于一个给定的理想 ![]() 维数 设 ![]() 戴德金环 设R为有e的整环,F为其分式域,而且R<F(即R非域)。F的一个子集X如果满足:①X是F作为加法群的一个子群;②当α∈R,x∈X时,有αx∈X(即RX嶅X);③有β∈F,β≠θ使βX嶅R,则说X是R的一个分式理想。环R的理想显然均为R的分式理想,也可叫做R的整理想。F中的一个元素δ如果是R上首项系数为e(一般不写出来)的多项式 ![]() ![]() 戴德金环的主要定理有两个。其一,有e的整环R为戴德金环,必要而且只要R满足下列三组等价条件之一:①R容许理想理论。②对R的非零(整)理想A、B只要A嶅B就有(整)理想C使A=BC;每个非零真(整)理想恒可惟一地表为有限个极大(整)理想之积。③R为诺特环;R是整闭的;R 的非零素理想恒为极大理想。 其二,设R为有e的整环,F为其分式域,E为F的有限扩张(见域),Ω为E中所有在R上为整的元素作成的环。如果R为戴德金环,则Ω亦然。例如整数环R就是一个戴德金环。若E是有理数域F(即R的分式域)的一个有限扩张域,则E是一个代数数域,其中所有代数整数就组成一个环Ω,由于R是戴德金环,故Ω也是戴德金环。事实上。戴德金环的发生和发展就与代数数论有关,而且是从其中抽象出来的。 交换环是交换代数的主要研究对象。 |
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