词条 | 回归分析 |
释义 | huigui fenxi 回归分析(卷名:数学) regression analysis 研究一个或多个随机变量Y1,Y2,…,Yl与另一些变量X1,X2,…,Xk(普通变量或随机变量)关系的统计方法。在某些问题中,诸X带有“原因”的性质,故称之为自变量;诸Y带有“结果”的性质,称之为因变量。有时X与Y之间并无明显的因果关系,但仍沿用“自变量”、“因变量”的名称,有时也称诸X为“因素”,诸Y为“指标”或“响应”。 最简单的情况是l=k=1,且Y1与X1大体上有线性关系,这叫做一元线性回归(一元是指只有一个自变量)。例如,以X记每亩的肥料施用量,Y记小麦的每亩产量,在一定范围内,可认为X与Y之间大体上有线性关系。由于Y还受到其他大量的可预见和不可预见的因素的影响,更确切的是把Y 表为 Y=α+bX+ε,这里ε是一随机变量,常称为随机误差。它反映了除肥料外,其他不可控制或未加控制的因素(如土壤肥力的不均匀、种田者在操作中的各种微小的差异等)的影响。通常假定随机误差的均值为0,方差σ2>0,σ2与X 的值无关。若进一步假定ε遵从正态分布N(0,σ2),就叫做正态线性回归模型。在上述模型中α、b都是未知参数,b 称为(Y 对X 的)回归系数,而α称为常数项,它们的值由观测样本去估计。 一般,设有k个自变量X1,X2,…,Xk和因变量Y。例如,X1,X2,…,Xk分别代表每亩施肥量、每亩播种量等,Y代表每亩产量。则Y的值可以分解为两部分:一部分是由于X1,X2,…,Xk的影响,表为ƒ(X1,X2,…,Xk;β1,β2,…,βp),ƒ为已知函数,称它为回归函数。其中β1,β2,…,βp是由观测数据估计的未知参数,如上例中的α与b。另一部分是由于其他未被考虑的因素和随机性的影响,记为ε,即随机误差。故一般的回归模型有形式 Y=ƒ(X1,X2,…,Xk;β1,β2,…,βp)+ε。方程Y=ƒ(X1,X2,…,Xk;β1,β2,…,βp),称为理论回归方程。通常,回归方程可由所研究的问题的有关理论给出,也可以根据经验数据和数学处理上的方便去选择。最常用的形式是 ![]() ![]() ![]() 当自变量的个数k>1时,称为多元回归;当因变量的个数l>1时,称为多重回归(见多元统计分析)。 回归分析要解决的问题,一是根据试验或观测数据选定适当的回归函数,或检验某种选定的回归函数是否合用。二是对回归函数中的未知参数β0,β1,…,βp进行估计。三是检验有关这些参数的假设。四是对随机误差ε的影响程度进行估计,最常用的是估计ε 的方差σ2。五是利用已建立的回归方程进行预测和控制。 为估计未知参数,常用最小二乘法。设Y与诸X的n组观测值为 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 假设检验对线性回归β0 + β1X1 + β2X2 + … +βpXp最常考虑的检验问题是某些回归系数为0,例如,对假设 ![]() 回归预测是指设想在自变量X1,X2,…,Xk的一组值 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 回归设计 在不少问题中,自变量X的取值是可控的,例如,一项生产过程中的温度、压力、反应时间等。在这种情况下,自变量的值可由试验者选定,因此可适当地选择X在试验中所取的值,以使所拟合的回归方程有优良的性能。这就是回归设计问题。关于这个问题,除了直线回归这个简单情况外,在二次(及三次)多项式回归方面有较具体的结果。其中值得一提的是旋转设计和混料设计。 旋转设计着眼于回归预测值 ![]() ![]() 在混料设计中,每个自变量Xi表示一种原料在整个配方中所占的百分比,因此每个Xi都在0与1之间,且所有Xi之和应为1,试验的目的是寻找最佳配方,目前已提出了若干类型的混料试验设计并在应用上取得了一些成功。 美国统计学家J.基弗在20世纪50年代末期提出了一种回归设计优良性准则,即D 最优准则。大体上说,这种准则的要旨是使回归系数估计量的广义方差(即回归系数的协方差阵的行列式)尽可能小。基弗对这个准则进行了一些基本研究,并在一些情况下(例如当自变量变化范围为球或立方体的情况)求得了具有D 最优性的回归设计。 参考书目 茆诗松等编著:《回归分析及其试验设计》,华东师范大学出版社,上海,1980。 N.R.Draper and H. Smith,Applied Regression Analysis,2nd ed., John Wiley & Sons, New York, 1981. V. V. Federov,Theory of OptiMal Experiments,Academic Press, New York, 1972. |
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