词条 | 三角级数 |
释义 | sanjiao jishu 三角级数(卷名:数学) trigonometric series 一种特殊的正交函数级数。形如 ![]() ![]() 三角级数(1)还可以写成下面复数形式的级数: ![]() ![]() ![]() 如果三角级数(1)对一切实数x都收敛,那么(1)表示了实数轴上的一个周期为2π周期函数ƒ(x),即ƒ(x+2π)=ƒ(x)对一切x∈(- ∞,∞)都成立。这是因为(1)中每一项都是周期为2π的周期函数。但是实际问题往往是,对给定的函数ƒ,如果它是具有周期2π的周期函数,需要把它表示成三角级数(1)。19世纪初,法国科学家J.-B.-J.傅里叶在研究热的流动时,为了求解热方程,首先就提出了这个想法。他的设想,虽然从现在的观点看,缺乏理论的严谨性,但却是人们对三角级数进行研究的出发点,对于近代数学以及物理、工程等许多学科都有着深远的影响。 如果三角级数(1)一致收敛于连续函数ƒ(x),那么用coskx或sinkx去乘级数(1),再在区间(0,2π)上进行积分,注意到逐项积分的可能性,就得到系数αn,bn与函数ƒ的关系式: ![]() 对于给定的周期函数ƒ(x),如果ƒ是可积的,那么从(3)式仍然可以得到αn,bn,从而得到相应的傅里叶级数(1)。这就建议人们去研究ƒ 的傅里叶级数是否收敛于ƒ以及有关的许多问题。从19世纪到现在,傅里叶级数的理论逐步得到建立,已成为三角级数理论中的一个基础分支,也是一个具有广泛应用的工具学科(见傅里叶级数)。 傅里叶级数的性质,由函数ƒ可以通过(3)进行研究。自然要问,任意的三角级数(1),是否为某函数的傅里叶级数呢?这个问题的答案是否定的。因为根据傅里叶系数的性质,傅里叶系数αn,bn必须满足条件 ![]() ![]() 那么系数αn,bn趋于0的三角级数(1),是否为傅里叶级数呢?下面的例子 ![]() ![]() 三角级数(1)的共轭级数是 ![]() ![]() 值得注意的是,傅里叶级数的共轭级数未必是傅里叶级数。例如,级数 ![]() ![]() 一般的三角级数,由于不存在关系式(3),因此增加了它的复杂性。到目前为止,人们对它的了解还是十分初步的。值得注意的是,三角级数往往可以提供许多奇特的函数,这对数学理论的基础研究,有着重大的意义。 例如,用所谓F.里斯的无穷乘积 ![]() ![]() ![]() ![]() 又例如缺项很多的三角级数 ![]() ![]() 中国在三角级数方面开展研究最早的是陈建功。他从1928年开始就在日本《东京皇家科学院学报》发表关于正交函数级数的文章,他于1930年在日本岩波书店出版的《三角级数论》是国际上三角级数论方面较早的专著之一。 |
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