词条 | 希尔伯特空间 |
释义 | Xi’erbote kongjian 希尔伯特空间(卷名:数学) Hilbert space n维欧几里得空间的推广,可视为“无限维的欧几里得空间”,是泛函分析的重要研究对象之一。在三维欧几里得空间中,任何两个向量之间规定了一个内积,它是建立三维欧几里得几何学的基础。有了内积,就有向量的长度、两个向量的交角和向量到直线或平面上的投影等等。这些普通而重要的几何概念及相应的研究方法,不仅被推广到n维空间,而且在许多不同的领域,例如积分方程、数学物理、三角级数或更一般的正交级数等理论中,被推广到由函数构成的无限维空间上去,成为研究有关问题的有力工具。第一个具体的希尔伯特空间最早是由D.希尔伯特在研究积分方程时首先提出的。他在平方可和的无穷实数列{xn}全体所组成的空间l2中规定了内积 ![]() 内积空间和希尔伯特空间 设H是实数或复数域C上的线性空间,如果对于H中任何两个向量x和y都对应着一个数(x,y)∈C,并且满足下列条件:①正定性,对一切x∈H,(x,x)≥0,而且(x,x)=0当且仅当x=0;②线性,对x,y,z∈H 和α,β∈C,成立(αx+βy,z)=α(x,z)+β(y,z);③共轭对称性,对x,y∈H 成立 ![]() ![]() ![]() 平行四边形公式和施瓦兹不等式 在内积空间中,由内积导出的范数必满足类似于平面几何学中的平行四边形公式,即对H中任何x、y, ![]() ![]() 内积还有重要的施瓦兹不等式: ![]() 正交与勾股定理 在希尔伯特空间H中,如果x,y满足(x,y)=0,就称x和y正交(或直交),记为x⊥y。当x⊥y时,成立勾股定理: ![]() 投影定理 希尔伯特空间理论中的一个基本定理。设M是希尔伯特空间H的凸闭子集,则对H中每个向量x,必存在M中惟一的y,使得 ![]() ![]() 正交系 设{ek}是内积空间H中一族彼此不同的向量,如果其中任何两个向量都正交,即当k≠j时,(ek,ej)=0,则称{ek}是一正交系;如果其中每个向量的范数又都是1,即对一切k,(ek,ek)=1,则称{ek}是就范正交系。对于希尔伯特空间H的就范正交系{ek},如果包含{ek}的最小闭子空间就是H,就称{ek}为H的完备就范正交系。设{ek}是就范正交系,则H中任一向量 x在ek方向的投影,即x在{ek}生成的一维子空间上的投影,就是(x,ek)ek;而x在{ek}生成的闭子空间M上的投影就是 ![]() ![]() ![]() ![]() 傅里叶展开是古典分析中傅里叶级数或一般正交级数展开的推广。 泛函表示定理 希尔伯特空间H 上每个连续线性泛函F,对应于惟一的y∈H,使F(x)=(x,y),并且 ![]() |
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