大系统稳定性理论(卷名：自动控制与系统工程)
stability theory of largescale systems
分析判断大系统能否正常稳定运行的理论和方法。稳定性是分析、综合、设计大系统时必须考虑的重要问题，是大系统定性分析的主要内容。不稳定的大系统不能正常运行。
基于稳定性的定义不同，分析大系统稳定性的方法有两种：①李雅普诺夫函数法（见李雅普诺夫稳定性理论）。考虑系统输入为零时，研究在初始状态激励下大系统内部状态运动特性的稳定性，这是自动控制理论中李雅普诺夫意义下的稳定性的推广。②输入输出法。考虑输入的作用，研究大系统在零初始条件下，对系统的有界输入是否会产生有界输出，这是输入输出特性意义下的稳定性。这两种方法虽然分析问题的角度不同，但有相同的解题思路：确认大系统稳定性既依赖于各子系统的稳定性，又和各子系统之间的关联有关，故都采用分解技术，将大系统分解为几个孤立子系统，并以适当形式关联而合成大系统（见表）。先按系统稳定性理论研究各子系统的稳定性，并设法定量地测算其稳定程度，同时定量地测算子系统之间关联的强弱对合成大系统稳定性的影响，根据这些测算找到某种条件去判断合成大系统的稳定性，称为大系统稳定性判据。关于分析大系统稳定性的判据，人们已提出许多不同的型式，但都是充分条件，而没有一个必要条件。用稳定性的充分条件判定失败，还不能说明这个大系统是不稳定的，而只有用不稳定性的充分条件判定成功后，才能认定这个大系统是不稳定的，反之亦然。
李雅普诺夫函数法 分为标量李雅普诺夫函数法和向量李雅普诺夫函数法。有一种常用的分析耦合关联作用可分离系统(即各子系统之间的关联程度较弱的系统)的稳定性的特例，称为加权和李雅普诺夫函数法。设大系统的微分方程是
式中x为m 维状态向量；f为向量函数；x=0，f(0,t)=0为平衡点。假设这个大系统是可分离系统,分解为n个子系统，用下式表示：
式中gi(x，t)叫关联项，表示所有其他子系统x对第i个子系统的关联性质。如果切断这种关联(即gi(x，t)=0),就能单个分析各孤立子系统(或自由子系统)
的稳定性。对于每个子系统可分别作出李雅普诺夫函数Vi(xi，t), 同时定义合成大系统的加权和李雅普诺夫函数为
式中di为正的常数，叫加权因子，表示各孤立子系统对合成大系统稳定性的影响程度。可用数学方法定量地计算各子系统对合成大系统稳定性影响的程度，由关联项定量地计算各子系统之间的关联强弱。如果子系统稳定程度的测度整体上大于关联的强度，则整个大系统是稳定的。上述李雅普诺夫稳定性判据的优点是允许在合成大系统中有个别孤立子系统是不稳定的，只要略加数学上的处理，判据仍能适用；这种稳定性判句的缺点是寻找李雅普诺夫函数较困难，没有一个确定的通用方法，通常只能参照以往的研究成果，根据大系统的具体情况反复探求。
小增益定理 用来给出系统的有界输入产生有界输出的充分条件。它是输入输出法的理论基础。图1所示反馈控制系统中,u1、u2为系统的输入；y1、y2为系统的输出；e1、e2为误差信号；H1、H2为系统本身的特性。明显地存在以下关系：
小增益定理给出：当H1、H2的增益的乘积小于1时，系统的有界输入产生有界输出。
输入输出法 图2表示合成大系统中与第i个子系统有关的部分,xi、ui为系统的输入；wi、vi为固定参考输入信号 zi、yi为系统的输出；ei、fi为误差；i=1，2，…,n表示各子系统的序号。Hii是第i个子系统本身的特性；Bi1、Bi2、…等表示第1个、第2个、…子系统与第i个子系统之间的关联耦合关系。 假设把这些关联耦合关系切断,单独研究第i个子系统的稳定性时,可用孤立子系统框图简化地描述。根据小增益定理，对孤立子系统的稳定性程度可找到一个定量的测度,就是算子Hii和Bii的增益；而从合成大系统框图(图3)看出,通过
可以定量地计算各子系统之间的关联程度。用数学方法认定以上关系都是有界的，各子系统的稳定程度的测度整体上大于各子系统的关联强度，则整个大系统是输入输出稳定的。参考书目
A.N.Michel,R.K.Miller, Qualitative Analysis ofLarge Scale Dynamic Systems, Academic Press, NewYork,1977.