弹性力学(卷名：力学)
elasticity
固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其他外界因素作用下产生的变形和内力，又称弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
简史 古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们已不自觉地运用下列重要原理：将外力所作的功转化为弹性体（弓）的应变能，然后将弹性应变能迅速释放，转化为箭的动能。但是人们有系统地、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。弹性力学的发展大体可分为四个时期：
初期主要通过实践，尤其是通过实验探索弹性力学基本规律。英国的R.胡克于1678年和法国的E.马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。I.牛顿于1687年确立了力学三定律（见牛顿运动定律）。同时，数学也在飞跃发展，建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。
在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论（现在梁理论已归入材料力学）。到19世纪20年代法国的C.-L.-M.-H.纳维和A.-L.柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。
第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。1855～1856年间法国的A.J.C.B.de圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，可以说是第三个时期的开始。在他的论文中，理论结果和实验结果密切吻合，为弹性力学的正确性提供了有力的证据。1881年德国的H.R.赫兹解出了两弹性体局部接触时弹性体内的应力分布（见接触问题）。1898年德国的G.基尔施在计算圆孔附近的应力分布时，发现了应力集中。这些成就解释了过去无法解释的实验现象，在提高机械、结构等零件的设计水平方面起了重要作用，使弹性力学得到工程界的重视。
在这个时期，弹性力学的一般理论也有很大的发展，取得了下列两方面重要成果：①建立了各种关于能量的定理(原理)。在弹性力学的基本方程建立后不久，就建立了弹性力学虚功原理和弹性力学最小势能原理。1872年意大利的E.贝蒂建立了功的互等定理。1873～1879年间意大利的A.卡斯蒂利亚诺建立了弹性力学最小余能原理。从此弹性力学能量定理（原理）便走上了独立发展的道路。②发展了许多有效的近似计算、数值计算和其他计算方法，如著名的瑞利－里兹法，为直接求解泛函极值问题开辟了道路，推动了力学、物理、工程中近似计算的蓬勃发展。1913～1915年俄国的И.Г.布勃诺夫和Б.Г.伽辽金提出了著名的布勃诺夫－伽辽金法。后来，苏联的Н.И.穆斯赫利什维利于20世纪30年代发展了复变函数的应用，为求解弹性力学平面问题提供了有力的工具（见弹性力学复变函数方法）。积分变换和积分方程等在弹性力学中的应用也有了新发展。
从20世纪20年代起，弹性力学的发展进入第四个时期，在发展经典理论的同时，广泛地探讨了许多复杂的问题，出现了许多边缘分支：各向异性和非均匀体的理论，非线性板壳理论和非线性弹性力学，考虑温度影响的热弹性力学，研究固体同气体和液体相互作用的气动弹性力学和水弹性理论以及粘弹性理论等。磁弹性和微结构弹性理论也开始建立起来。此外，还建立了弹性力学广义变分原理。这些新领域的发展，丰富了弹性力学的内容，促进了有关工程技术的发展。
基本规律 弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。
①变形连续规律 弹性力学（和刚体的力学理论不同）考虑到物体的变形，但只限于考虑原来连续、变形后仍为连续的物体，在变形过程中，物体不产生新的不连续面。如果物体中本来就有裂纹，则弹性力学只考虑裂纹不扩展的情况。
反映变形连续规律的数学方程有两类：几何方程和位移边界条件。几何方程反映应变和位移的联系，它的力学含义是，应变完全由连续的位移所引起。在笛卡儿坐标系中，几何方程为：
(1)式中xi为坐标系的坐标;ui为与xi相应的位移分量；εij为应变分量。若所考虑的物体Ω在其一部分边界B1上和另一物体Ω1相连接，而且Ω在B1上的位移ūi为已知量，在B1上便有位移边界条件
ui＝ūi (i＝1，2，3) (2)式中ui是Ω的位移。式(2)表示Ω和Ω1两物体在B1上贴合紧密，没有间隙。反之则表示有间隙，违反了变形后继续保持连续的基本要求。
②应力－应变关系 弹性体中一点的应力状态和应变状态之间存在着一定的联系，这种联系与如何达到这种应力状态和应变状态的过程无关，即应力和应变之间存在一一对应的关系。若应力和应变呈线性关系，这个关系便叫作广义胡克定律，各向同性材料的广义胡克定律有两种常用的数学形式：
σ11＝λ(ε11＋ε22＋ε33)＋2Gε11， σ23＝2Gε23，
σ22＝λ(ε11＋ε22＋ε33)＋2Gε22， σ31＝2Gε31， (3a)
σ33＝λ(ε11＋ε22＋ε33)＋2Gε33， σ12＝2Gε12和
式中σij为应力分量；λ和G为拉梅常数，G又称剪切模量；E为杨氏模量（或弹性模量）；ν为泊松比（见材料的力学性能）。λ、G、E和ν四个常数之间存在下列联系：
(4)式(3a)适用于已知应变求应力的问题，式(3b)适用于已知应力求应变的问题。③运动（或平衡）规律 处于运动（或平衡）状态的物体，其中任一部分都遵守力学中的运动(或平衡)规律，即牛顿运动三定律。反映这个规律的数学方程有两类：运动（或平衡）微分方程和载荷边界条件。在笛卡儿坐标系中，运动（或平衡）微分方程为：
(5)式中t为时间；ρ为材料密度；fi为作用在物体上的体力（外载荷的体积密度）分量。 方程(5)实质上是从物体中隔离出来的一个微小平行六面体的运动方程。在平衡问题中，惯性力
很小，忽略这些惯性力，便得到弹性力学中的平衡微分方程。对于均匀而且各向同性的物体，应力分量可按式(3a)用应变分量表示，而应变分量又可按式(1)用位移分量表示。 两个公式依次代入方程(5)，便得到用位移表示的运动微分方程： 
(6)式中θ为体应变，即
； (7)Δ为拉普拉斯算符，即 
。 (8)类似地，在方程(6)中略去惯性力
，便可得到用位移分量表示的平衡微分方程。如果考虑物体一部分边界B2是自由的，在它的上面有给定的外载荷，则根据作用力和反作用力大小相等方向相反的原理，在B2上有如下载荷边界条件：
α1σ1i+α2σ2i+α3σ3i=圴i (i=1，2，3)， (9)式中αi为边界外法线方向的方向余弦；圴i为给定的边界载荷分量。
弹性力学问题的提法和求解 为了阐明一个弹性力学问题，需要说明物体的形状和物体的各部分由什么材料组成(直接给出物体各部分的广义胡克定律当然更好)；说明物体所承受的载荷，包括体积力fi、自由边界上的载荷圴i；说明此物体和其他物体的连接情况。例如，所考虑的对象是物体Ω，它在边界B1和B2同另两个物体Ω1和Ω2相连接。如果Ω1的刚度比Ω大得多，则B1上各点的位移就基本上由Ω1的位移决定。这样，对Ω来说，B1上各点的位移是由外界给定的，因而有位移边界条件(2)。如果Ω2的刚度比Ω小得多，则Ω2基本上不能限制B2上各点的位移。这样，对Ω来说，B2可看作是自由的，因而有载荷的边界条件(9)。如果Ω1或Ω2的刚度同Ω相差不多，要建立恰当的边界条件就不那么容易，须就具体情况作细致的分析。
对弹性力学的平衡问题，说明上述三个方面便可以了。但对弹性力学的动力问题，还需说明物体的初始状态，即
当t=t0时，ui=ui0，
，(i=1，2，3)， (10)式中t0为初始时间；ui0和vi0分别为物体在初始时刻的位移和速度，它们应是给定的函数。求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、应变和应力共15个函数。从理论上说，只有15个函数全部确定后，问题才算彻底解决。但在各种具体问题中，常常只关心其中的某几个函数，有时甚至只关心物体的某些部位的某几个函数。所以在实用上，常常不需要确定全部函数。求解时，可用实验方法、数学方法，也可用实验和数学相结合的方法。
实验方法是用机械的、电的、光的以及其他手段在实物上或在模型上测量所需的量。许多复杂而难于计算的问题都是用实验方法求解的（见实验应力分析）。
数学方法就是根据几何方程（1）、应力-应变关系(3a)或(3b)、 运动（或平衡）微分方程(5)、边界条件(2)和(9)以及动力问题中的初始条件(10)，解出ui、εij、σij等15个函数。数学方法的优点是提供的数据比较全面，但当前只适用于不太复杂的问题。这方面的研究构成了以数学方法为主要研究手段的数学弹性力学。
对于一些实用上重要的弹性力学问题，常需要同时用实验和数学两种方法求解，以保证结论的可靠性。
常用的数学方法 弹性力学中常用的数学方法可分分成两类：
①精确解法 包括分离变量法和弹性力学的复变函数方法。弹性力学中的许多精确解是用分离变量法求得的。其步骤大致如下：根据物体的形状，选择一种合适的曲线坐标系，并写出相应于该坐标系的弹性力学微分方程和边界条件，如果微分方程中的变量能够分离，通常便可求得问题的解。能用分离变量法求得精确解的问题有：无限和半无限体的问题，球体和球壳的问题，椭球腔的问题，圆柱和圆盘的问题等。
对于能化为平面调和函数或平面双调和函数的问题，复变函数方法是一个有效的求解工具。柱体的扭转和弯曲问题、平面应变和平面应力问题以及薄板弯曲问题中的许多重要精确解都是用复变函数法求得的。
②近似解法 为求解一些复杂的问题，在弹性力学中还发展了许多近似解法。能量法就是其中用得最多的一类方法，它把弹性力学问题化为数学中的变分问题(泛函的极值和驻值问题)，然后再用瑞利－里兹法求近似解。能量法的内容很丰富，适应性很强。工程界当前广泛使用的有限元法是能量法的一种新发展。差分法也是一种常用的近似解法，其要点是用差商近似地代替微商，从而把原有的微分方程近似地化为代数方程。此外，边界积分方程、边界元法和加权残数法对解决某些问题也是有效的手段。
数学弹性力学的典型问题 有以下几类：
①一般性理论 它探讨解的共性和一般性的求解方法。一般性理论中，最核心的部分是能量原理（定理），包括虚功原理（虚位移原理、虚应力原理）、功的互等定理、最小势能原理、最小余能原理、赫林格－瑞斯纳二类变量广义变分原理和胡海昌－鹫津久一郎三类变量广义变分原理等。解的存在性、唯一性、解析性、平均值定理以及近似解的收敛性等，也都和能量原理有密切联系。这些一般性理论，是建立各种近似解法和建立工程结构实用理论的依据。
一般性理论的另一重要方面是未知函数的归并理论，其主要内容是将弹性力学问题归为求解少数几个函数，这些函数常称为应力函数和位移函数。
②柱体扭转和弯曲 一个侧面不受外力的细长柱体，在两端面上的外力作用下会产生扭转和弯曲。根据圣维南原理，柱体中间部分的应力状态只与作用在端面上载荷的合力和合力矩有关，而与载荷的具体分布无关。因此，柱体中间部分的应力有以下的表达式：
(11)这里的x、y轴为横截面的两个主轴;z轴平行于柱体的母线；σxx、σyy、σzz、σxy、σyz、σxz为应力分量；A为横截面的面积;Ix和Iy为横截面对x轴和y轴的惯性矩(见截面的几何性质);N、Μx和Μy分别为作用在截面上的轴向合力、对x轴和y轴的弯矩。弯矩Μx、Μy是坐标z的线性函数，可用材料力学的方法求得。式（11）给出的σxx、σyy、σzz、σxy与材料力学的解相同，但给出的剪应力σxz、σyz比材料力学的结果精确。决定σxz、σyz的问题最后可归为求解一个平面调和函数的边值问题。③平面问题 平面问题是弹性力学中发展得比较成熟，应用得比较广的一类问题。平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题。两者的应用对象不同，但都可归为相同的数学问题──平面双调和函数的边值问题。
平面应力问题适用于薄板。若在薄板的两个表面上无外力，而在侧面上有沿厚度均匀分布的载荷（图1），则薄板中的位移和应力有如下特点：σxz=σyz=σzz=0，且σxx、σyy、σxy以及x、y方向的位移u、v都与坐标z无关。对于各向同性材料，上述五个不等于零的量可以用一个应力函数φ(x，
)（艾里应力函数）表示为：
(12)而应力函数φ是一个平面双调和函数，即ΔΔφ＝0。 (13)
平面应变问题适用于长柱体的中间部分。若柱体的两端面固定不动，而作用在侧面上的载荷和坐标z无关，且合力及合力矩等于零（图2），
则柱体中间部分的应力和位移有如下特点：σxz=σyz=0，纵向位移w＝0，且σxx、σyy、σxy、u、v与坐标z无关。对于各向同性的材料，上述五个不等于零的量也可用一个双调和函数φ表示为公式(13)，不过须将其中的E和ν分别代以
。④变截面轴扭转 变截面轴受扭时，在截面的过渡区(图3)常有应力集中现象。分析这类问题以取圆柱坐标系(r，θ，z)为方便。在圆柱坐标系中的位移分量和应力分量分别记为u、v、w和σrr、σθθ、σzz、σθz、σrz、σrθ。这类问题的力学特点是：u＝w＝0，σrr＝σθθ＝σzz＝σrz=0，v、σrθ、σθz与坐标z无关。上述不等于零的两个剪应力σθz和σrθ可用一个应力函数嗞(r，z)表示为：
， (14)而嗞满足下列偏微分方程：
。 (15)这类问题最后归为方程(15)的边值问题。⑤回转体的轴对称变形 各向同性的回转体在轴对称载荷作用下，必然产生轴对称的变形。在圆柱坐标系(r，θ，z)中，轴对称变形的特点是：v＝0，σrθ=σθz=0，且u、w、σrr、σθθ、σzz、σrz与坐标θ无关。上述不等于零的六个量，可以用一个位移函数嗞(x，y)表示为：
(16)其中Δ是轴对称的拉普拉斯算符，即
； (17)而嗞是轴对称的双调和函数，即ΔΔ嗞＝0。 (18)
⑥工程结构元件的实用理论 从广义上说，各种工程结构元件的实用理论(如杆、板、壳的实用理论)都是弹性力学的特殊分支，而且是最有实用价值的分支。这些实用理论分别依据结构元件形状及其受力的特点，对位移分布作一些合理的简化假设，对广义胡克定律也作相应的简化。这样，就能使数学方程既得到充分简化又保留了主要的力学特性。从弹性力学看，这些结构元件的实用理论都是近似理论，其近似性大多表现为按照这些理论计算得到的应力和应变不能严格满足胡克定律。
参考书目
徐芝纶著：《弹性力学》，上册，人民教育出版社，北京，1982。
王龙甫著：《弹性理论》，科学出版社，北京，1979。