释义 |
qiangxing bijin 强性逼近(卷名:数学) strong approximation 一种特殊的函数逼近方式。强性逼近的概念起源于数项级数的强性求和。设有级数 ,记其前n+1项之和为 。 如果存在正数p以及常数S适合 ,则说 关于指数p强性可和,和是S。如果0<p′<p,级数 关于指数p强性可和,则它关于指数 p′也强性可和。假设ƒ(x)是有周期2π 的连续函数,Sn(ƒ, x)为其傅里叶级数之前n+1项之和,则对于任何给定的正数p,都有 ,这里 。这是早期的结论。20世纪60年代初,G.亚历克西茨首先提出n趋于无穷时,量
的阶与函数ƒ(x)的构造性态之间的关系问题,这就是所谓强性逼近问题。强性逼近的许多有趣的结果,常常表现出一些逼近定理都有可能强化。例如,对于ƒ∈Lipα(即满足条件: )的ƒ(x)的全体,L.费耶尔和的逼近定理就可强化为
,而瓦莱-普桑和的逼近定理则可强化为
,式中сp是仅与p有关的正数,E奱(ƒ)为阶不超过n的三角多项式对ƒ的最佳逼近值。对于反问题,则成立如下的不等式: p≥1时,
, 0<p<1时,

,特别,若r是非负整数,0<α<1,β>(r+α)p,则 等价于 ∈Lipα。 强性逼近的另一问题是对于正数序列{λk},研究级数 的收敛性所蕴涵着的 ƒ的构造性态。简单的结论是:当p>1时,
, (*)蕴函 ,但p=1时不成立。当0<p≤1时,记 ,r为正整数,0≤α<1;则当0<α<1时,(*)蕴涵 ∈Lipα,α=0时,(*)蕴涵 为亚光滑函数,即有常数с>0,使得 对一切x与h都成立。 |