词条 | 拉普拉斯变换 |
释义 | lapulasi bianhuan 拉普拉斯变换(卷名:数学) Laplace transform 一种特殊的积分变换,是狄利克雷级数到积分的推广。从已知一般可取复值的函数ƒ(t) (0≤t<+∞),用下式定义的函数(如果下式中积分存在) (1)称为ƒ(t) 的拉普拉斯变换,或简称拉氏变换,式中s=σ+iτ可以是复数,ƒ(t)称为原像函数,F(s)称为其像函数。为了强调F(s)是从ƒ(t)经(1)式变换得来,也常记 F=Lƒ。 在一定条件下,从式(1)可以解出ƒ(t): (2)式中积分是沿着无穷长直线Res=σ进行的。式(2)称为拉氏反变换,记作ƒ=L-1F。 式(1)与式(2)称为一对互为反演的公式,其成立有各种的充分条件。例如,设式(1)对于任何σ(=Res)>σ0绝对收敛(或在勒贝格意义下可积),这里σ0为某常数,且ƒ(t)在任何有限区间内是有界变差的,则式(2)对任何σ>σ0成立,但已假定ƒ(t)规范化,即 容易看出,如果(1)对于s0=σ0+iτ0收敛,则对一切s=σ+iτ,只要σ>σ0,它也收敛。因此F(s)在这里是解析的,亦即,存在一个收敛横坐标σc,使得F(s)在半平面Res>σc中解析(除非σc=+∞)。这时,有以下求导公式 若满足反演条件,这时有 换句话说 这样,拉氏反变换就把像函数的求导运算变成了原像函数和(-t)p的乘积运算。 拉氏变换还有所谓卷积公式,把 叫做ƒ1,ƒ2的卷积,且F1=Lƒ1,F2=Lƒ2。这时有 F1·F2=L(ƒ1*ƒ2)。 关于ƒp(t)的拉氏变换,由分部积分法(在一定条件下)可得 即 因此,ƒ(t)的常系数线性微分方程的初值问题就可化为有关L(ƒ)的代数方程问题,而后者是极容易求解的。求出L(ƒ)后,再利用拉氏反变换公式(2),便可求得ƒ本身。这样,拉氏变换就成为求解常微分方程的一个有力工具。同样道理,用拉氏变换的方法,可以把含两个自变量的偏微分方程化为常微分方程,或一般,把含n个自变量的偏微分方程化为含n-1个自变量的偏微分方程,使问题得以简化。 以上说的是单边拉氏变换,还有所谓双边拉氏变换 (3)在一定条件下,有反演公式 (4)式中с=Res取在使(3)绝对收敛之处。 此外,还可以在不同空间,例如l2(0,∞)内考虑拉氏变换。此时积分的收敛也就要在相应的极限意义下来理解,也有相应的一系列理论。另外,还可考虑更一般的拉普拉斯-斯蒂尔杰斯变换 (5)拉氏变换概念还可推广到广义函数上。例如,对于著名的δ函数,可定义其拉氏变换为 拉氏变换的理论可从傅里叶变换转化而来。 几个简单的函数的拉氏变换见表 。 参考书目 河田龙夫著,钱瑞壮译:《富里哀变换与拉普拉斯变换》,上海科学技术出版社,上海,1961。(河田龍夫著:《Fourier变换とLaplace变换》,岩波,東京,1957。) 窦志著,张义良译:《拉普拉斯变换的理论和应用导论》,科学出版社,北京,1966。(G.Doetsch,Einf╇hrung in Theorie und Anwendung der laplace-TransforMati-on,Birkhuser Verlag,Basel und Stuttgart,1958.) D.V.Widder,The laplace Transform,PrincetonUniv.Press, Princeton, 1941. D.V.Widder,An Introduction to Transform Theory,Academic Press, New York, 1971. G.Doetsch,Handbuch der laplace-TransforMation,Vol.1~3, Birkhuser, Basel, 1955, 1956. |
随便看 |
百科全书收录78206条中英文百科知识,基本涵盖了大多数领域的百科知识,是一部内容开放、自由的电子版百科全书。