域(卷名：数学)
field
代数学中基本的概念之一。设 F是至少含有两个元素的一集合，在F上定义了两个（二元）运算，一个叫做加法，一个叫做乘法，它们都满足交换律、结合律，而且乘法对于加法有分配律；对于加法，F有零元素、每个元素有负元素；对于乘法，F有单位元素，除去零元素外，每个元素有逆元素，这样的代数结构就称为域。例如全体有理数、全体实数或全体复数在通常的运算下，都是域；又如全体形如
的数，其中α、b是有理数，它们对加减乘除(零不作除数)是封闭的，因之也构成域。再如，取一素数p。考虑整数模p的全体剩余类
，如果把通常的加法与乘法改成作完加法与乘法后，再取所在的同余类，那么在Fp上就定义了两个运算。由整数与素数的性质，容易验证，Fp是域。域的概念是在19世纪代数学的发展中逐步形成并明确起来。在E.伽罗瓦研究方程的著作中就用到了域的概念。在J.W.R.戴德金与L.克罗内克关于代数数的著作里从不同的背景也提出了域的浮?。显然这样元素的全体构成 F的一个子域。这个子域可以与有理数域等同起来。这时称域 F的特征为零。
另一个可能是存在一最小的正整数p，使 pe=0。容易证明，这样的p一定是素数，而且此时{0，e，…，(p-1)e}，已经构成F的一个子域。这个子域可以与整数模p的域Fp等同起来。这时称域F的特征为p。
按照特征把域分成两大类:一类是特征为零的域;一类是特征为 p的域。这两类域在性质上有不少重要的差别。
研究域的一般方法是在域E中取定一个子域F作为基域，然后讨论扩域E相对于基域F的代数性质。E和F的关系记作E/F。E中包含F的子域叫做E/F的中间域。E/F的中间域可以如下产生:取定E的任一子集S。考虑一切有理分式
， 
，其中ƒ和g都是S中任意有限子集α1，α2，…，αr的多项式，而系数属于F。所有这种有理分式构成E/F的一个中间域，记为F(S)，称为S在F上生成的子域。若
有限，则F(S)记为F(α1，α2，…，αr)，称之为有限生成的。特别由一个元拍睢Ｋ淙凰腔姑挥杏虻某橄蠖ㄒ澹怯蛘飧龃嗜闯鲎源鞯陆稹Ｓ虻某橄罄砺凼怯?a href="bword://'H.韦伯'">H.韦伯开始的。稍后，戴德金和E.V.亨廷顿独立地给出了域的公理系统。在H.韦伯的影响下，E.施泰尼茨对抽象域进行了系统的研究。他的研究结果全写在他1910年的基本论文“域的代数理论”中。如果F是域E的一个子集合，它在E的运算下也成一个域，那么域F就称为域E的一个子域，而域E称为域F的一个扩域。例如，有理数域是实数域的一个子域，而实数域是有理数域的一个扩域。
对于任意一个抽象的域F，考虑单位元素e生成的加法群，即{0，±e，±2e，±3e，…}。它有两个可能。如果对任意正整数n，ne≠0，也就是说，它是一个无限循环群。在这一情形，F包含所有的商ne/me，n、m为整数， m素α生成的子域F(α)，称为F上的单扩张。域扩张可分为代数扩张和超越扩张。
代数扩张 若 E的元素α是F上一个非零多项ƒ(x)的根，则α叫做F上的代数元域α在F上是代数的。否则，α叫做F上的超越元。以代数元α为根的多项式中必有惟一的一个首项系数为1的次数最低的多项式m(x)，叫做α的极小多项式。m(x)是F上的不可约多项式。此时 F(α)叫做F上的单代数扩张。F(α)和商环F[x]/(m(x))成F同构，即保持F的元素不动的环同构。若 E的全部元素都是F上的代数元，则E/F叫做一个代数扩张。不难证明，代数扩张有传递性，即若E/L和L/F都是代数扩张，则E/F也是代数扩张。从而可知，在任意域扩张K/F中代数元全体对四则运算是封闭的，即代数元的和、差、积、商(0不作除数)仍为代数元。因而K/F的全部代数元构成K/F的一个中间域E，叫做E在K内的代数闭包。此时每个元素α∈K但α
E，在E上都是超越的。E可以看作基域F上的线性空间，它的维数叫做E/F的次数，记成[E:F]。如果[E:F]有限，那么E/F叫做有限扩张。有限扩张都是代数扩张。若E/F是一个有限扩张，L为一个中间域，则次数公式[E:F]=[E:L]·[L:F]成立。
为了研究F上多项式的根的代数性质，需要把多项式的全部根放到同一个扩域中去考虑。当F 是有理数域时，则复数域能起这样的作用。这可以从历史上的代数基本定理导出。但是如果F是一个特征p>0的域，那么在此时复数域已无能为力，替代复数域的是多项式的分裂域。设ƒ(x)是F上一个次数>1的多项式，就在F上造一个扩域使得ƒ(x)在其中完全分解成一次因式的乘积。首先取ƒ(x)的一个不可约因子 p(x)，作商环F1=F[x]/(p(x))。F1是F上的一个扩域而且包含ƒ(x)的一个根α＝x＋(p(x))。然后，从F1出发，重复构造F1/F的办法，再作出一个域扩张F2/F1使之F2包含ƒ(x)的更多的根，如此继续下去，直到做出一个有限扩张E/F使得ƒ(x)在E内完全分解成一次因式的乘积。具有这种性质次数最低的扩域E/F，叫做ƒ(x)的一个分裂域。可以证明，ƒ(x)在F上的任意两个分裂域是成F同构的。因而除F同构不计外 ƒ(x)在F上的分裂域是惟一的。分裂域有一个重要的定性刻画。一个代数扩张E/F若有性质：“如果F上任一不可约多项式ƒ(x)在E中有一根，那么ƒ(x)在E内已能完全分解成一次因式的乘积”，则E/F就叫做F上的一个正规扩张。这样，分裂域可以刻画如下:一个有限扩张E/F为正规扩张的充分必要条件是，E/F为某个多项式在F上的分裂域。一个多项式的诸根间的代数性质，完全可以由它的分裂域E/F的代数性质反映出来。
下面引进的概念是和基域F的特征密切相关的。F上一个不可约多项式ƒ(x)的根的重数是在它的分裂域内计算的。由于分裂域的惟一性，根的重数概念是不依赖于分裂域的选取的，因而有确定的意义。但是一个不可约多项式ƒ(x)是否有重根的问题则是和基域的特征密切相关的。为了弄清它们的关系引进可分多项式的概念。若F[x]中一个不可约多项式ƒ(x)没有重根（重数＝1)，则ƒ(x)叫做F上的可分多项式。否则叫做F上不可分多项式。可分和不可分多项式的根分别叫做 F上的可分元和不可分元。若一个代数扩张E/F的元素在F上都是可分的，则F/F叫做可分扩张；否则叫做不可分扩张。特征为0的域上不可约多项式都是可分的，而当F的特征为素数时，则可能出现不可分多项式。例如 F=Fp(t)，Fp为p个元素的域，t在Fp上为超越元。Fp(t)为t的有理分式域，此时ƒ(x)=xp-t在F上不可约，但在它的分裂域中ƒ(x)却可分解成
，其中θ是xp-t的一根。θ是一个p重根，因而xp-t是不可分的。和代数扩张情况一样，可分扩张也有传递性而且可分元素的和、差、积、商(0不作除数)都是可分的。因此任一代数扩张E/F包含一个由全部可分元组成的中间域ES，叫做F在E内的可分闭包。此时每个α∈E但α
ES在ES上都是不可分的，称E/ES为纯不可分扩张。应该指出，一个有限可分扩张E/F可以用一个元素α生成即E=F(α)，α叫做E/F的一个本原元素。有一类重要的特征为素数的域和特征为 0的域有相同的性质，它就是完全域。若域 F上所有不可约多项式都是可分的，则F叫做一个完全域。F是一个完全域，当且仅当F的特征为0或者F的特征为素数p而且F的每个元素在F 内可开p次方。超越扩张 设E/F为一个任意域扩张，F[x1，x2，…，xr]为多元多项式环。若E的一个有限子集
是F[x1，x2，…，xr]中某个非零多项式g(x1，x2，…，xr)的零点，即
，则N叫做F上的代数相关集或在F上是代数相关的。否则N 叫做在F上的代数无关集或在F上是代数无关的。若E 的一个子集S的所有有限子集在F上都是代数无关的，则S叫做在F上是代数无关的或F上的代数无关集。E的一个子集S叫做E/F的一个超越基，是指S满足以下两个条件：①S在F上代数无关;②E是F(S)上的代数扩张。容易证明，任一非代数扩张E/F都有超越基而且任意两个超越基有相同的基数。这个共同的基数就叫做E/F的超越次数，记作trdegE/F。代数扩张的超越基是空集。它的超越次数规定为零。对于任一域链F嶅L嶅E，次数公式trdegE/F=trdegE/F+trdegL/F成立。设trdegE/F>O ，若存在这样的超越基S使得E=F(S)，则E/F叫做一个纯超越扩张。纯超越扩张E=F(S)和F上一组未定元x的多项式环F[x]的商域F(x)成F同构，其中x与S有相同的基数。超越次数为1的纯超越扩张E=F(t)叫做单超越扩张。关于单超越扩张有著名的吕洛特定理：单超越扩张E=F(t)的每个大于F的中间域都还是F上的单超越扩张。
吕洛特定理有它的几何意义。平面上一条不可约代数曲线F(x，y)=0叫做有理的，是指存在参数t的有理函数φ(t)和ψ(t)满足以下两条件:①除去t的有限个值外，恒有 ƒ(φ(t)，ψ(t))=0，②除去ƒ(x，y)=0的有限个点外对每个点 p(x，y)存在惟一的一个t值使得p=(φ(t)，ψ(t))。吕洛特定理断言，对不可约代数曲线ƒ（x，y）=0若存在参数t的有理函数φ(t)和ψ(t)满足条件①，则也存在参数t′的有理函数 φ1(t′)和ψ1(t′)满足条件①和②。因而ƒ(x，y)=0是一条有理曲线。
若E/F有一个超越基S使得E是F(S)上的可分代数扩张，则E/F叫做可分生成的。显然纯超越扩张是可分生成的。若E/F的每个有限生成的中间域都是可分生成的，则E/F叫做一个可分扩张。关于可分扩张有下列事实成立：①可分代数扩张就是现在意义下的可分扩张；②纯超越扩张是可分代数扩张；③可分扩张同可分代数扩张一样也有传递性；④若E在F上是可分的，则任一中间域L在F上也可分。但是必须注意，从E/F可分得不出E/L可分的结论，这点与可分代数扩张是不同的。还应该指出，当trdegE/F无限时，可分扩张不必是可分生成的。
参考书目
张禾瑞著：《近世代数基础》，人民教育出版社，北京，1978。B.L.范德瓦尔登著，丁石孙、曾肯成、郝炳新等译：《代数学》，第1册，科学出版社，北京，1963。(B.L.Waerden，Algebra ，Vol.1， Springer-Verlag，Berlin， 1955.)
N.Jacobson，Lectures in abstract Algebra，The Theory of Fields and Galois Theory， Vol. 3，Springer-Verlag， New York，1964.