应力函数和位移函数(卷名：力学)
stress functions and displacement functions
在弹性力学中，为方便求解，常把应力或位移用几个任意的或某种特殊类型的函数表示，这些函数通常叫作应力函数或位移函数。
应力函数 最有名的应力函数是弹性力学平面问题中的艾里应力函数。如果没有体力，平面中的三个应力分量σxx、σyy、τxy满足下列方程：
。 (1)根据方程(1)，可将应力分量用一个函数φ（x，y）表示为：
。 (2)φ便是艾里应力函数。对于均匀和各向同性的物体，φ是一个双调和函数，即它满足下列双调和方程：ΔΔφ=0， (3)式中
是平面的拉普拉斯算符。引入φ后，平面问题原来的8个未知函数(两个位移分量、三个应变分量和三个应力分量σxx、σyy、τxy就归结为一个函数φ。这对求解具体问题很有好处。在弹性柱体的扭转问题中，剪应力分量τxz、τyz满足下列平衡方程：
。 (4)据此可将τxz、τyz用一个函数Ψ(x，y)表示为：
。 (5)Ψ称为普朗特应力函数。对于均匀和各向同性的柱体，Ψ满足下列方程：ΔΨ=-2Gθ， (6)式中G为材料的剪切模量（见材料的力学性能）;θ为单位长度的扭转角。
位移函数 在求解弹性力学的空间问题时，也可以用六个应力函数代替原来的六个应力分量，但好处不多。所以，一般多采用各种位移函数。对于均匀和各向同性弹性体，位移分量u1、u2、u3满足下列平衡方程：
式中
是空间中的拉普拉斯算符；ν为材料的泊松比；G为剪切模量；┃i为体力分量。方程(7)的解可以表达成多种形式。一种形式为： 
式中ψ1、ψ2、ψ3、嫓四个函数满足下列方程：
。 (9)函数ψ1、ψ2、ψ3、嫓称为布森涅斯克-帕普科维奇-纽勃位移函数。 弹性力学中许多空间问题的解都是从公式(8)推导出来的。方程(7)还有另一种形式的解，即
式中Fi满足下列方程：
。 (11)函数F1、F2、F3称为布森涅斯克-索米利亚纳－伽辽金位移函数。对于回转体的轴对称问题，公式(10)可作许多简化。取对称轴为z轴(x3轴)，记r为所考虑点到z轴的距离，并记位移在r、z轴上的投影分别为u、ω。若┃1=┃2=0，可取F1=F2=0，F3=F(r，z)。这样，由公式(10)可得到：
， (12)式中
，即柱坐标中的拉普拉斯算符；F满足下列方程： 
。 (13) 公式(12)中的函数F称为乐甫位移函数。 在求解轴对称问题时，经常利用公式(12)。在┃1=┃2=0的情况下，即使不是轴对称问题，方程(7)的解也可用一组位移函数F、┃表示如下：
式中F、┃满足下列方程：
， Δ┃=0。 (15)这组位移函数特别适用于求解无限体、半无限体和厚板等问题。