词条 | 复叠空间 |
释义 | fudie kongjian 复叠空间(卷名:数学) covering space 代数拓扑中的一个重要概念,又称覆盖空间。设p:塣→X是连续映射,如果在X中,每一点x都有开邻域U,使得p-1(U)是塣中一组互不相交开集{Uα}的并集,且p 限制在每个Uα上都是从Uα到U 的同胚,则称p 是复叠映射,塣是X 的一个复叠空间。 例如,由规定的直线到圆周的映射 p:E1→s1是复叠映射。设,取正数,作z0的开邻域,则p_1(U)是一组不相交开区间{(n+t0-ε,n+t0+ε)}的并集,且p:(n+t0-ε,n+t0+ε)→U是同胚。又如,当将n维球面Sn的每对对径点粘合时,商空间是实射影空间Pn,粘合映射p:Sn→Pn也是复叠映射。 复叠映射的提升性质 复叠映射是一个纤维映射,即它对任何空间都有同伦提升性质(见同伦论)。此外,它还有更多的提升性质: 映射提升定理 设Y连通、局部道路连通,y0∈Y,又设ƒ:Y→X 是连续映射,x0=ƒ(y0),取定慜0∈p_1(x0),则ƒ 有提升 愝: Y→塣 使 愝(y0)= 慜0 的充分必要条件是ƒ。 映射提升惟一性定理 设Y连通,ƒ:Y→X是连续映射,ƒ的两个提升愝,愝′:Y→塣如果对某点y∈Y有愝(y)= 愝′(y),那么愝=愝′。 用这两个定理不难推出,当n>1时,复叠映射 p所诱导的同态p:πn(塣)→πn(X)是同构,而p:π1(塣)→π1(X)是单同态。 泛复叠空间 当P(π1(塣))是π1(X)的正规子群时,称塣是X的正则复叠空间;如果塣是单连通的,则称塣是X的泛复叠空间,它是最常用的复叠空间。 当一个拓扑空间X连通,局部道路连通与半局部单连通时,它一定存在泛复叠空间。 复叠变换群 是复叠空间塣 的自同胚群的一个子群,它由全体满足p。φ =p的自同胚φ(称为复叠变换)组成。 如果塣是泛复叠空间,并且X道路连通,则塣上的复叠变换群同构于π1(X),利用这个事实可计算某些空间的基本群。例如E1是S1的泛复叠空间,E1上的复叠变换就是移动距离是整数的平移,从而复叠变换群≌Z,这样就得到。又如n≥2时,Sn是Pn的泛复叠空间,复叠变换只有两个:恒同映射与对径映射,于是。 除了可用来计算基本群外,复叠空间在不动点理论的研究中是一种有效工具,并且在代数拓扑各个领域和几何拓扑中还有广泛的应用。 参考书目 M.A.阿姆斯特朗著,孙以丰译:《基础拓扑学》,北京大学出版社,北京,1983。(M.A.Armstrong,basic TopoЛogy,McGraw-Hill,London,1979.) |
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