数学期望(卷名：数学)
mathematical expectation
又称期望或均值，是随机变量按概率的加权平均，表征其概率分布的中心位置。数学期望是概率论早期发展中就已产生的一个概念。当时研究的概率问题大多与赌博有关。假如某人在一局赌博中面临如下的情况：在总共m＋n种等可能出现的结果中，有m种结果可赢得α，其余n种结果可赢得b)， 则
就是他在该局赌博中所能期望的收入。数学期望的这种初始形式早在1657年即由荷兰数学家C.惠更斯明确提出。它是简单算术平均的一种推广。设x为离散型随机变量，它取值x0，x1，…的概率分别为p1，p2，…，则当级数
时，定义它的期望为
。这里之所以要求级数绝对收敛，是因为作为期望的这种平均，不应当依赖于求和的次序。若x 为连续型随机变量，其密度函数为p（x），则当积分
时，定义它的期望为
。在一般场合，设x是概率空间(Ω，F，p)上的随机变量，其分布函数为F(x)，则当
时，定义x的期望为
式中
是斯蒂尔杰斯积分;
或
是随机变量x 在Ω上对概率测度p的积分。然而，并非所有的随机变量都具有期望。随机变量的期望，有下列性质:E(x＋Y)=Ex＋EY；若把常数α看作随机变量，则Eα=α；若x≥0，则Ex≥0;若x与Y独立，则E(XY)＝Ex·EY;若随机变量x1，x2，…，xn有联合分布函数F(x1，x2，…，xn)，则对一类n元函数ƒ(x1，x2，…，xn)（称为可积的n元波莱尔可测函数，它包括所有可积的初等函数和连续函数），有
若Z＝x＋iY为复随机变量，则定义其数学期望为EZ=Ex＋iEY。
上述数学期望的概念也可推广至随机向量的情形。一个随机向量
的数学期望(EX定义为以其各分量xj的数学期望为分量的向量，即
，也称为X的均值向量。它也具有一般期望所具有的类似性质。