多重线性代数(卷名：数学)
multilinear algebra
线性代数的一个分支。它以建立在若干个线性空间的笛卡儿积上的各种多重线性的代数结构，例如张量代数、外代数、克利福德代数等为研究对象。多重线性代数在量子力学、群表示论、几何学、偏微分方程等学科中已有重要的应用。
设V1，V2，…，Vr与L都是域F上的线性空间，xj在Vj中，j=1，2，…，r。由全体有序r元组(x1，x2，…，xr)组成的集合，称为V1，V2，…， Vr的笛卡儿积，记作V1×V2×…×Vr。
若φ:V1×V2×…×Vr→L关于每一个变元都是线性的，即对于j=1，2，…，r都有
式中
;
，
，则φ称为从V1×V2×…×Vr到L的r重线性映射。r=2时，φ 称为双线性映射;r≥3时，φ统称为多重线性映射。当L＝F时，则φ 称为r重线性函数。线性空间的张量积 若V1、V2都是域 F上的线性空间，对V1中的每一个基元素ei与V2中的每一个基元素ƒj定义一个积，记为ei圱ƒj，要求这个积是双线性的，即对ei与ƒj都是线性的。这些积线性生成F上的一个线性空间，称为V1与V2的张量积，记为V1圱V2。也可以按如下的办法用商空间的语言来具体地描述它。令
，堸为V生成的自由向量空间，即
。在这里，V中的元素都是堸 的基元素，因此V与堸 的运算不同。N 由堸 中形如 (α1x1+b1y1，x2)- α1(x1，x2)-b1(y1，x2)与(x1，α2x2+b2y2)-α2(x1，x2)-b2(x1，y2)的元素全体线性生成，式中xj，yj在Vj中，α1、α2、b1、b2在F中，则N 是堸 的子空间。作商空间
。由πx=x+N 定义的映射π：V→V/N，是一个线性同态，称之为堸 到堸/N 的标准(自然)同态。堸/N称为V1与V2的张量积，记为V1圱V2。而将π（x1，x2）记为x1圱x2，读作“x1与x2的张量积”。x1圱x2生成V1圱V2，其运算圱满足如下关系:xj，yj均在Vj中，j=1，2;α在F中，
，
，
=
。因此，由
定义的φ:
是双线性映射。注意π与φ的定义域是不同的。可以证明，φ与V1圱V2一起具有如下的泛性质:若L为域F上任一线性空间，
为双线性映射，则有惟一的线性映射
使
，即有可换图
。也可用泛性质来定义张量积。所谓域 F上两个线性空间V1与V2的张量积，是指域F上的线性空间T及确定的双线性映射
具有如下的性质：若对于F上的任意线性空间L与任一个双线性映射
都有惟一的线性映射h:T→L使hφ =σ。因为线性空间V1与V2的张量积是由一个线性空间 T和一个确定的双线性映射 φ组成的，所以有时将张量积记为(T，φ)对或T。上述的(堸/N，π)构作法说明了(T，φ)的存在性。可以证明， 在同构意义下，上述定义的张量积是由V1和V2惟一确定的。仍以x1圱x2记φ(x1，x2)，V1圱V2记T。一切形如x1圱x2的元素线性生成V1圱V2，
的充分必要条件是x1、x2中至少有一个为0。当V1与V2均为有限维时，可以证明:①
dimV2若 {ei}与{ƒj}分别为V1与V2的基底，则{ei圱ƒj}就是V1圱V2的基底。②若V姈与V娦也是F上的线性空间，
，j=1，2，均是线性映射， 由
定义的线性映射
，记为ƒ1圱ƒ2，则
。③若 V徿也是F上的线性空间，
也是线性映射，j=1，2，则有合成律:
，且 I揊圱I揋是 V1圱V2 上的恒等映射
。④关于ƒ1圱ƒ2的像与核有性质：
域F上r个线性空间V1，V2，…，Vr的张量积也可用泛性质定义如下：若V为F上的线性空间，
×
是r重线性映射， 对于 F上的任一线性空间V′与任一个r重线性映射
，都有惟一的线性映射h:V→V′使hφ=σ，则(V，φ)或V称为V1，V2，…，Vr的张量积，记为V1圱V2圱…圱Vr。φ(x1，x2，…，xr)记为x1圱x2圱…圱xr。类似于r=2的情形，可以证明它的存在性和在同构意义下的惟一性，以及在同构意义下张量积运算具有结合性。当 
均为有限维时，则dim(V1圱V2圱…圱Vr)=dimV1
。张量代数 设 V是域F上的线性空间，圱rV表r个V的张量积，称为V 的r 次张量幂。若{e1，e2，…，en}是V的基底，则 圱rV 的基底为{
n，l=1，2，…，r}有 nr个元素。圱rV 的元素T 总可表为
，并称为r阶张量。 式中的nr个纯量
∈F，称为张量T关于V的基底{e1，e2，…，en}的分量。约定圱1V=V，圱0V=F，于是
是F上的线性空间，每一个圱rV 都是它的子空间，这里嘰表直和。将圱V中生成元的乘法定义为
式中xj、yj∈V，经线性开拓即得圱V 中完全确定的乘法，使之成为F上的一个有单位元的结合代数，即所谓V上的张量代数。它具有如下的泛性质:若τ:V→圱V 是标准单射(嵌入)，A是F上任一个有单位元的结合代数，σ:V→A是线性映射，则有惟一的代数同态φ:圱V→A使φτ=σ。 这个泛性质也可用来定义圱V。此时，它的存在性已由它的具体构造法证明，而它在同构意义下的惟一性的证明与张量积的惟一性证明相仿。这个泛性质蕴含如下性质:若
也是F上的线性空间，则每一个线性映射ƒ1:V →都惟一地诱导一个代数同态
使
，且
，式中1表恒等映射。对于F上的三个线性空间V、
、
，则由线性映射ƒ1:V→V′与ƒ2:
→
的合成ƒ2ƒ1诱导的代数同态 
，即V→圱V， 与ƒ→T(ƒ)确定了一个从F上的线性空间范畴到 F上有单位元的结合代数范畴的一个共变函子。(见范畴)若V*为V 的对偶空间，则r个V*与s个V的张量积，记为圱
V，其元素称为r阶共变、s阶反变的r+s阶混合张量，当s=0时，圱V 即为圱rV*，其元素称为r阶共变张量；当r=0时，圱V 即为圱
V，其元素称为 s阶反变张量;圱姲V即V*;圱嬼V 即V;圱孊V 即F。若{e1，e2，…，en}为V 的基底，{e1，e2，…，en}为V*与相应的对偶基即
，式中δij为克罗内克符号，则有nr+s个元素
，形成圱
V 的基底。圱V 的每一个元素都可惟一地表为T=
的形式，其中的nr+s个纯量
，称为（混合）张量T对于V的基底{e1，e2，…，en}的分量。仿圱V 的构作可得混合张量代数 
。它也是F上的线性空间，因此，张量的加法与纯量乘法都可归为对分量的运算，还可推出张量乘法的分量公式。如果V是F上的具有内积( ，)的内积空间，那么定义圱rV 的内积为
，式中xj、yj均在V中，j=1，2，…，r，圱rV 就成为F上的内积空间。若{e1，e2，…，en}为V的法正交基即(ei，ei)=1，(ei，ej)=0(i≠j)时，
也是圱rV 的法正交基。还可将这个内积开拓到作为线性空间的圱V上，即若 T=∑Tr，S=∑Sr，式中Tr、Sr均在圱rV 中，则T与S的内积定义为（T，S）=∑（Tr，Sr）。此时可以证明，若
，则 g与V 的法正交基的选取无关。g称为V的反变度量张量。对V*的对偶基{e1，e2，…，en}可类似地定义共变度量张量g*。此时可证，只要V的基底{ƒj}与V*的基底{ƒk}为对偶基(未必是法正交基)，那么g与g*总可表为 
，
。由张量代数可派生出两个重要的代数即外代数与对称张量代数。它们是两个平行的分支。
外代数 亦称格拉斯曼代数或反对称张量代数。设V为域F上的线性空间，F的特征为0，Nr（V）表示圱rV中由形如x1圱x2圱…圱xr的元素全体（其中存在当j≠k时xj=xk的情形）生成的子空间(r≥2)，φ为V×…×V到F上的线性空间
的r 重线性映射，σ为任一r元置换，由
定义σφ ，式中σ∈Sr。由
定义的πA，称为交代化子，式中的εσ，当 σ为偶置换时为1；否则，为－1。易知
。商空间圱rV/Nr(V)称为V 的r次外乘幂，记为∧rV，它的元素x1圱x2圱…圱xr+Nr(V)，则以x1∧x2∧…∧xr记之。仿照由张量幂作直和构造出张量代数的方法，取
，其中约定∧0V=F，∧1V=V，于是∧V也是F上的线性空间。在∧V中定义生成元的乘法为
，
，经过线性开拓即得∧V中的乘法，并使∧V成为一个有单位元的结合代数，称之为V上的外代数。它不是可交换代数，它的乘法满足如下的规则:
，式中x在∧rV中，y在∧sV中。因此，对于V中的x有x∧x=0，但x不在V中时，x∧x未必为0。当{e1，e2，…，en}为V 的基底时，易证
是∧rV 的基底，因此r≤n时
，而 r>n 时dim∧rV=0。于是
，式中
表从n个元素中取r个元素的组合数。若V是具有内积( ，)的内积空间，则可由
作线性开拓来定义∧V中的内积，式中xj与yj均在V中，使∧V成为F上的内积空间。也可用泛性质来定义外代数。设K是域F上的一个有单位元的结合代数，F的特征为0，V是F上的线性空间，τ:V→K 是任一线性映射，且满足条件：①(τx)2=0，其中x∈V；②苦A是 F上任一有单位元的结合代数，σ:V→A是任一线性映射，且使(σx)2=0，其中x∈V，则必有惟一的代数同态 φ:K→A使φτ=σ。此时(K，τ) 对或K就称为V上的外代数，记为 E=∧V。可以证明其存在性及其在同构意义下的惟一性，证法与张量代数类似。K中的元素又称为 V上的反对称张量。外代数可以概括行列式理论。外代数的推广就是克里福特代数，它也是一种有重要应用的代数，用它可将复数、四元数代数概括在内。
若V*是V的对偶空间，则与构成混合张量代数类似，可将 ∧V*圱∧V 记为∧(V*，V)，由
＝
， 式中x
、y∈V，x、y∈V，作线性开拓来定义∧(V*，V)的乘法，使∧(V， V)成为有单位元的结合代数，而称其为V上的混合外代数。对称张量代数 它的理论及构作法是与外代数平行的。可以用
来定义关于r重线性映射的对称化子(r≥2)，令
。
称为V的r次对称幂，记为∨rV，约定∨0V =F，∨1V=V，记
，式中嘰表直和。仿照前面来定义其乘法运算，即可得V上的对称张量代数。它也可用泛性质给以定义，设S为域F上有单位元的结合代数，F的特征为0，V 是F上的线性空间，τ′:V →S 是线性映射，且满足条件:①
，② 当 A是 F上任一个有单位元的结合代数，σ′:V →A 是任一线性映射，且满足 
，这里x1，x2均在V中，则必有惟一的代数同态 φ′:S→A使φ′τ′=σ′。此时(S，τ′)对或S称为V上的对称张量代数，记为 S＝∨V，其元素称为V上的对称张量。对称张量代数概括了通常的多元多项式代数。当dimV=n时，V上的对称张量代数等价于F上关于n个文字x1，x2，…，xn的多项式环，即∨
。对称张量代数的许多结果都可与外代数的相应结果平行地建立起来。参考书目
W. H. Greub，Multilinear Algebra， 2nd ed.，SpringerVerlag，New York，1978.