词条 | 李代数 |
释义 | Lidaishu 李代数(卷名:数学) Lie algebra 一类重要的非结合代数。最初是由19世纪挪威数学家M.S.李创立李群时引进的一个数学概念,经过一个世纪,特别是19世纪末和20世纪的前叶,由于W.基灵、É.(-J.)嘉当、(C.H.)H.外尔等人卓有成效的工作,李代数本身的理论才得到完善,并且有了很大的发展。无论就其理论的完整性还是就其应用的广泛性来说,李代数都已成为一个非常重要的数学分支。它的理论和方法已经渗透到数学和理论物理的许多领域。 定义 如果令F是一个域,集合g称为F上的一个李代数是指:①g是F上一个向量空间。②g带有一个二元运算,称为换位运算,即对于任意X,Y∈g,有g中惟一确定的元素(记为[X,Y])与之对应。③ 满足下列三条件即对于任意α、b∈F,X,Y,Z∈g,有[αX+bY,Z]=α[X,Z]+b[Y,Z],[X,αY+bZ]=α[X,Y]+ b[X,Z];[X,X]=0;[[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0(雅可比恒等式)。 李代数g作为F上向量空间,它的维数称为李代数g的维数。 由③中的前两个条件可推出,对于任意X,Y∈g,有[X,Y]=-[Y,X];反之,当F的特征不为2时可由此式推出③中的第二个条件。 设g是域F上一个向量空间,在g中定义换位运算:对于X,Y∈g,令[X,Y]=0,则g作成一个李代数,称为交换(或阿贝尔)李代数。 在R3={(x1,x2,x3)|xi∈R,R 是实数域,i=1, 2,3}中, 设 ![]() ![]() ![]() 令V 是域F上一个向量空间。可知V的一切线性变换作成F上一个向量空间,设ƒ、g是V的线性变换,令ƒg表示ƒ与g的合成,并定义[ƒ,g]=ƒg-gƒ,直接验证可知,V的全体线性变换所组成的向量空间,对于这样定义的换位运算,作成F上一个李代数。这个李代数称为全线性李代数,记作g ![]() 类似地,域F上全体n×n矩阵所组成的向量空间,对于换位运算[A,B]=AB-BA(A、B是n×n矩阵),作成F上一个李代数,并称之为F上全阵李代数,记作g ![]() 更一般地,设U是域F上一个结合代数。对于α、b∈U定义[α,b]=αb-bα,则U作成F上一个李代数。 子代数、理想、商代数、同态 令g是域F上一个李代数,α、b是g的子空间。记[α,b]={Σ[A,B](有限和)│A∈α,B∈b },则[α, b]是g的一个子空间。设α是g的一个子空间。如果[α, α]嶅α,那么就称α是g的一个子代数;如果[α, g]嶅α,那么α就称为g的一个理想。由于[α,g]=[g,α],因此李代数的理想都是双边的。如果α是g的一个理想,在商空间g/α里,定义[X+α,Y+α]=[X,Y]+α,那么g/α作成F上一个李代数,称为g模α的商代数。 设g1、g2是域F上李代数。ƒ:g1→g2是一个线性映射。如果对于X、Y∈g,ƒ([X,Y])=[ƒ(X), ƒ(Y)],那么ƒ就称为一个同态映射。如果ƒ还是一个双射,那么就称ƒ是一个同构映射,这时g1与g2就称为同构,记作g1≌g2。设ƒ:g1→g2是一个同态映射,则 Im ƒ=ƒ(g1)是g2的一个子代数,而Kerƒ=ƒ-1(0)是g1的一个理想,并且ƒ导出一个同构g1/Ker ƒ≌Im ƒ。 设V是域F上一个n维向量空间。通过取定V的一个基,可以在全线性李代数g ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 容易验证,t(n,F)和n(n,F)都是g ![]() 域F上一切迹是0(即主对角线上元素的和等于0)的n×n 矩阵,作成g ![]() ![]() 取定域F上一个n×n对称或反对称矩阵M。 令g={X∈g ![]() ![]() 当n=2l+1, ![]() 当n=2l, ![]() ![]() 可解李代数、幂零李代数 设g是域F上一个李代数,α、b是g的理想,那么[α,b]仍是g的一个理想,特别,g(1)=[g,g], g(2)=[g(1),g(1)],…,gn+1=[g(n), g(n)],…都是g的理想。于是有g叾g(1)叾g(2)叾…,称为g的导出链。g(1)称为g的导出代数。如果存在一个正整数n,使得g(n)={0},那么就说g是可解的。 再定义g1=g,g2=[g,g1],…,gn+1=[g,gn],…,又可得到g的一个理想序列g1叾g2叾…,称为g的降中心链。如果存在一个正整数n,使得gn={0},那么就说g是幂零的。因为g(i)嶅gi,所以幂零李代数一定是可解的。 例如,线性李代数t(n,F)是可解的,而n(n,F)是幂零的,事实上,t(n,F)(n)={0},n(n,F)n={0}。这两个例子具有普遍的意义,因为有以下两个定理。 恩格尔定理 令V是域F上一个n(大于零)维向量空间,g是g ![]() ![]() ![]() 李定理 令F是一个特征为0的代数闭域,V是F上一个n(大于零)维向量空间,g是g ![]() 单李代数、半单李代数 域F上一个李代数g是所谓单的,即指除了g本身和{0}以外,g不含其他理想。F上一个有限维李代数g是所谓半单的,即指g不含非零可解理想。每一个有限维李代数g都含有惟一的最大可解理想r,就是这样一个理想, 它包含g的一切可解理想,称为g的根基。g是半单的当且仅当它的根基 r={0}。除一维李代数外,有限维单李代数都是半单的。特征为0的域上每一个半单李代数都是一些单李代数的直和。 李代数的表示 令g是域F上一个李代数,V 是F上一个向量空间。李代数的一个同态ρ: g→g ![]() ![]() ![]() ![]() 设(ρ,V)是李代数g的一个表示。V的一个子空间W称为ρ(g)不变的,即指W在一切ρ(X)(X∈g)之下不变。李代数g的一个表示(ρ,V)称为不可约的,是指除{0}和V本身外,V没有其他ρ(g)不变子空间。所谓(ρ,V)是完全可约的,意即V是一些ρ(g)不变的子空间的直和,并且ρ在每一个这样的子空间上的限制都是不可约的。有外尔定理:特征为 0的域上半单李代数的每一(有限维)表示都是完全可约的。 最重要的一种表示就是所谓伴随表示。设X是李代数g的一个元素。对于每一Y∈g,定义adX(Y)=[X,Y],则adX是g的一个线性变换,并且ad∶X→adX(X∈g)是g到g ![]() 设(ρ,V)是g的一个有限维表示。定义一个对称双线性型 k:g×g→F;对于X、Y ∈g, 定义k(X,Y)=Trρ(X)·ρ(Y)(ρ(X)ρ(Y)的迹)。特别,当g是有限维的而ρ是伴随表示ad时, k称为g的基灵型。基灵型在研究李代数的结构中起重要的作用。例如有嘉当判定准则:特征为0的域上一个(有限维)李代数是半单的,必要而且只要g的基灵型非退化。 复半单李代数的根系和分类 复数域(或一般地,特征为0的代数闭域)上的半单李代数的结构和分类,早在19世纪末就已经得到。 令g是域F上一个李代数。g的一个子代数 ![]() ![]() ![]() ![]() 设g是复数域上一个半单李代数,这时g的一个子代数 ![]() ![]() ![]() ![]() 取定g的一个嘉当子代数 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() g的基灵型 k 在 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 令墹是g关于一个嘉当子代数 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 复数域上单李代数(在同构的意义下)由它们根的基础系完全刻画。有以下的结果:在同构的意义下,复数域上单李代数只有Al(l≥1)Bl(l≥1)、Cl(l≥1)、Dl(l≥3)这四类和五个例外李代数,分别记作G2、F4、E6、E7、E8、它们的维数分别是14、52、78、133和248。除了A1≌B1≌C1,B2≌C2,A3≌D3外,这些李代数互不同构。 复半单李代数的实型和谢瓦莱基 设g是复数域C上一个半单李代数。实数域R上一个李代数g0称为g的一个实型,是指 ![]() ![]() 在一个复半单李代数 g里, 总存在着这样一个基{h1,h2,…,hl;Eα,α∈墹},这里h1,h2,…,hl是一个嘉当子代数 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 特征为p>0的域上的李代数和卡茨-穆迪代数 令g是一个复单李代数。取定g的一个谢瓦莱基,可以作出gZ。设K是任意域,于是 ![]() ![]() ![]() 1968年,V.卡茨和R.穆迪彼此独立地提出了一类新的李代数,这种李代数可以看成复半单李代数在无限维的很自然的类比,称之为卡茨-穆迪代数。 特征为p>0的域上的李代数和卡茨-穆迪代数的研究正方兴未艾,与其他学科的联系也很广泛,许多问题有待解决。 参考书目 万哲先编著:《李代数》,科学出版社,北京,1964。 严志达著:《半单纯李群李代数表示论》,上海科学技术出版社,上海,1963。 N.贾柯勃逊著,曹锡华译:《李代数》,上海科学技术出版社,上海,1964。(N.Jacobson,Lie Algebras,John Wiley & Sons.New York, 1962.) N.Bourbaki,Eléments de Mathématique,GroupesetAlgébre de Lie,Actualités Sci. lnd., Hermann, 1960,1968. V. Kac,lnfinite Dimensional Lie Algebras,Birkhuser, Basel-Stuttgart, 1983. |
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