环(卷名：数学)
ring
一个具有两种二元运算的代数系统。设在集合 R中已定义了加法与乘法，而R在加法下是一个交换群，且乘法对加法有分配律，则R称为一个非结合环。此时R中就有惟一的零元素θ，使得对α∈R恒有α+θ=α；R 中每个α有惟一的负元素-α，使α+(- α)=θ，可简记α+(-b)为α-b。分配律可推广为：α(b±с)=αb±αс，(b±с)α=bα±сα；用数学归纳法可证
在非结合环R 中恒有：αθ=θα=θ；α(-b)=(-α)b=-αb；(-α)(-b)=αb；(nα)b=α(nb)=nαb，其中α、b为R中任意元素，n为任意整数。如果非结合环R还具有性质:α2=θ（α∈R），且雅可比恒等式成立，即在R 中恒有(αb)с+(bс)α+(сα)b=θ，那么R 称为一个李环。如果非结合环R的乘法适合交换律，且在R 中恒有[(αα)b] α=(αα)(bα)，那么R 称为一个若尔当环。在非结合环的研究中，李环与若尔当环是内容最丰富的两个分支。如果非结合环R 的乘法适合结合律，那么R 称为一个结合环或环。如果在环R中再规定如下的一个新乘法“。”（称为换位运算）：α。b=αb-bα，那么R 对原来的加法与新有的乘法是一个李环；若规定的新乘法为“·”（称为对称运算）:α·b=αb+bα，则R 便成一个若尔当环。
设S 是非结合环R 的一个非空子集，若对于R 的加法与乘法，S 也构成一个非结合环，则S 称为R 的一个子环。一个真正的非结合环（即其中有三个元素在相乘时不适合结合律）的一个子环，有可能是一个结合环。非结合环R 的若干个子环的交，仍是R 的一个子环。当T 为R 的一个非空子集时，R 中所有含T 的子环的交显然是R 中含T 的最小子环，称之为R的由T 生成的子环。如果非结合环R 中任意三个元素生成的子环恒为结合环，那么R已经是一个结合环；如果R中任意两个元素生成的子环恒为结合环，那么R称为一个交错环;如果R中任意一个元素生成的子环恒为结合环，那么R称为一个幂结合环。在幂结合环中，第一、第二指数定律即
恒成立。如果一个交错环的乘法还适合交换律，那么它称为一个交错交换环。在交错交换环中，不仅有第一、第二指数定律成立，而且有第三指数定律即
成立；还有二项式定理。结合环与交换环的典型例子如:F上的n阶全阵环，即数域（或域）F上的所有n阶矩阵在矩阵的加法与乘法下构成的一个环。V的完全线性变换环，即F上的一个向量空间 V的全部线性变换在变换的加法与乘法下构成的一个环。F上的多项式环，即F上一个或若干个文字的多项式全体构成的一个交换环。整数环，即全体整数构成的一个交换环；全体偶数构成它的一个子环，称为偶数环。R上的n阶全阵环，即在任意一个环R上的全部n阶矩阵，对于仿通常矩阵的运算定义的加法与乘法构成的环，记为Rn。[0，1]上的全实函数环，即定义在区间[0，1]上的全部实函数，对于函数的加法与乘法构成的一个交换环。整数模n的环R奱，即模n剩余类，对于剩余类的加法和乘法构成的一个交换环。它是只含有限个元素的交换环的典型例子。
若一个环R中含有一个非零元素e≠θ，使对每个x∈R 有ex=xe=x，则e称为R 的一个单位元素。一个环若有单位元素，则它必然是惟一的。设R是一个含有单位元素的环，α是R 中一个元素，若R 中有元素b，使αb=bα=e，则b称为α的一个逆元素。当α有逆元素时，其逆元素必然是惟一的，记为α-1，α-1也有逆元素，而且就是α，即(α-1)-1=α。R 的零元素θ 必无逆元素。若R 的每个非零元素都有逆元素， 则R 称为一个体或可除环。四元数代数就是典型的体。在体的定义中再规定其乘法适合交换律，就是域的定义。
理想 设S是环R 的一个非空子集，所谓S是R 的一个左理想，意即①S 是R 作为加法群时的一个子群；②当α∈S，x∈R 时，则xα∈S。若有αx∈S，则S称为R 的右理想。如果S 既是R 的左理想，又是R 的右理想，则称S是R 的一个理想。例如，{θ}是环R 的一个理想。设l1、l2都是环R 的左理想。R中所有的元素α+b(α∈l1，b∈l2)作成R 的一个左理想，并称之为l1与l2的和，记为l1+l2。R中所有的有限和
作成R 的一个左理想，称为R 的左理想l1与l2的积，记为l1l2。易知R的左理想的加法适合交换律与结合律；R 的左理想的乘法适合结合律且对加法有分配律。 对于R 的右理想的加法与乘法也有类似结果。由于左理想与右理想的对称性，因此以下关于左理想的讨论， 对于右理想也适合。环R 的两个左理想的和的概念可以推广成若干(有限或无限)个左理想li的和
li，它是由所有的有限和 
所构成的。 如果这些li均非零， 而且在
li中每个元素α=αi的表法是惟一的，那么R的这组左理想li(i∈i)称为无关的。环R 的两个左理想的积的概念可以推广成任意有限多个左理想l1，L2，…，ln的积l1l2…ln。特别，当这些li都是R 的同一个左理想 L时，此积简记为ln。设T是环R 的一个非空子集。R 中有元素α ，它能从左边去零化T 中每个元素即αT=｛αt|t∈T｝是｛θ｝，例如R 中的零元素θ 就是这样一个元素。R 中所有这种元素作成R 的一个左理想， 称为T 在R 中的左零化子，或R 中的一个左零化子。如果环R 的任意一组左理想中恒存在极小的左理想，那么环R 称为满足左极小条件， 或降链条件。所谓极小左理想，是指一组左理想中的一个左理想，它不能真正的包含组中任何左理想。同理可定义环R的左极大条件(或升链条件) 以及环R 的左零化子的极小与极大条件。由于环R 的左零化子仅仅是R 的一类特殊的左理想，所以环R 的左零化子的极小与极大条件，分别弱于R的左极小与左极大条件。若环R 满足左极大条件，则R 中左理想的任何无关组必为有限的。满足左极小条件的环又称为左阿廷环；满足左极大条件的环又称为左诺特环；一个环满足条件：①它的左理想的任何无关组恒为有限的；②它的左零化子满足极大条件，称为左哥尔迪环。由上述可知，左诺特环恒为左哥尔迪环。
设N是环R 的一个理想。首先，R 作为一个(交换)加法群时，则N 就是群R 的一个正规子群。N 在R 中的全部陪集对于陪集的加法(α+N)+(b+N)=(α+b)+N 作成一个(交换)加法群。其次，规定(α+N)(b+N)=αb+N，这与陪集的代表元素α、b的取法无关。易知陪集的这种乘法，适合结合律且对加法有分配律。于是就得到一个环，并称之为环R 关于其理想N 的剩余类环，记为R/N。它与环R有同态关系。所谓同态，是指对于两个环R1、R2，有一个从R1 到R2上的映射σ：R1→R2，使对任意 α·b∈R1恒有σ(α+b)=σ(α)+σ(b)，σ(αb)=σ(α)σ(b)。R2是R1在σ下的同态像，记为
。对任意环R 及其任意理想N ，只要定义σ(α)=α+N 就得到R 到R/N上的一个同态映射，特称之为自然同态映射。如果环R1到环 R2上的一个同态映射σ，又是一一映射，那么σ 称为同构映射，记为
。可以证明， 如果σ 是环R 到环R′上的一个同态映射，那么R中所有满足 σ(α)=θ′∈R′的元素构成R的一个理想N，称为σ的核，且有R/N≌R′；如果环R满足左极小（或极大）条件，那么其任意同态像亦然。设l是环R 的一个左理想，如果有正整数n使ln={θ}，那么l称为幂零的。如果对l中每个元素α恒有正整数n(α)使
，那么l称为诣零的。显然幂零左理想必为诣零左理想，但反之则未必。对R的右理想也有相应的定义。如果P是环R 的一个理想，而对R 的任意两个理想A、B，只要AB嶅P，就必有A嶅P 或B嶅P，则P 称为R 的一个质理想或素理想。如果环R 的零理想｛θ｝是R 的一个质理想，那么R 称为一个质 (素)环。如果环R 除｛θ｝外不再含其他的幂零理想，那么R 称为一个半质(素)环。质环恒为半质环，但反之则未必。结构理论 设R1，R2，…，Rm均为环R的非零子环。如果R的每个元素α均可惟一地表为
，且当i≠j时恒有
，那么R 称为R1，R2，…，Rm的环直接和(或简称直和)，记为
。此时诸 Ri均必为环R 的理想且R 满足左极小（极大）条件，必要而且只要诸Ri均然。当一个非零的环不能表为两个以上的非零子环的环直接和时，则称之为不可分环。例如非零的单纯环(即除｛θ｝与自身外不再含其他理想的环)就是不可分环。一个非零的环R 为左阿廷质环，必要而且只要有体K使
。此时若又有体T使
，则必有T≌K，m=n。这样的环必为单纯环，又称为阿廷单纯环。一个非零的环为左阿廷半质环，必要而且只要它是有限个阿廷单纯环的环直接和。这样的环又称为阿廷半单纯环。一个阿廷半单纯环为不可分环，必要而且只要它是阿廷单纯环。以上结果统称为韦德伯恩-阿廷结构定理。设R 是任意一个左阿廷环，于是R 的诣零左、右理想恒为幂零的;R 的所有幂零左理想的和又等于R 的所有幂零右理想的和， 从而这个和N 是R 的惟一最大幂零理想，称为R 的根，而且当N <R 时，剩余类环R/N 是阿廷半单纯环。对环R 中元素α，如果存在 α′∈R，使α+ α′+αα′=α+α′+α′α=θ，那么α称为拟正则的 ，而且α与α′互为拟逆。例如，诣零元素α就是拟正则的，当αn=θ时，α′=-α+α2-
。又如整数环中的－2 也是拟正则的，其拟逆即－2自己。如果环R 的一个左(或右)理想l的每个元素α都是拟正则的(此时α的拟逆α′亦必在l中)，那么l称为R 的一个拟正则左(或右)理想。任意环R中恒存在惟一的最大拟正则理想J，称为R的雅各布森根，它包含R 的所有拟正则左与右理想，且剩余类环R/J不含非零的拟正则左与右理想。特别，当J=｛θ｝时， R 称为雅各布森半单纯环。于是任意环R 关于其雅各布森根J 的剩余类环R/J，便恒为雅各布森半单纯环。非零的满足左极小条件的雅各布森半单纯环就是阿廷半单纯环。左分式环 如果在环R 中有α≠θ，b≠θ，而αb=θ，那么α称为左零因子，b称为右零因子。一个非零元素如果既非左零因子，又非右零因子，那么这个非零元素称为正则元。设Q是一个有单位元素e的环，R是它的一个子环，如果R的每个正则元α在Q中有逆元素α-1，且Q中每个元素β均可表为β=α-1b(其中α、b∈R且α为正则元)，那么Q称为R 的一个左分式环。设R 是一个非零的环，则R 是哥尔迪质环， 必要而且只要R 有一个左分式环为阿廷单纯环；R 是哥尔迪半质环，必要而且只要R有一个左分式环为阿廷半单纯环。
所谓环R 是一个左奥尔环，即指R 含有正则元而且满足左奥尔条件：对α、b∈R（其中b为正则元），恒有α1、b1∈R(其中 b1是正则元)使得b1α= α1b。当环R无零因子时，左奥尔条件即R 中任二非零元有共同的非零左倍元。一个环R有左分式环，必要而且只要R是一个左奥尔环。
序环 所谓环R的偏序关系“≤”，是指“≤”在环R的元素之间具有以下性质：①自反性，即对每个α∈R恒有α≤α；②传递性，即当α≤b，b≤с时有α≤с；③反对称性，即当α≤b，b≤α时有α=b；④如果α≤b，那么对x∈R恒有α+x ≤b+x；⑤当θ≤α，θ≤b时有θ≤αb。有偏序关系存在的环，称为偏序环。在偏序环中，当α≤b，с≤d时，就必有α+с≤b+d;当α≤θ，θ≤b时，就有αb≤θ，bα≤θ；当α≤θ，b≤θ 时，就有θ≤αb。在偏序环中，若α≤b且α≠b，则记为α<b。当θ<α时则称α是一个正元素；当b<θ时则称b是一个负元素。当α为正元素时，则－α必为负元素；当b为负元素时，则－b必为正元素；当偏序环中无左、右零因子时，就有两个同号元素（即同为正元素或同为负元素）相乘为正；两个异号元素相乘为负。如果偏序环R 中任意两个元素α、b均有α≤b或者b≤α，那么就说R 是一个序环。例如整数环在通常数的小于等于关系“≤”下就是一个序环。
发展概况 环论的发展可追溯到19世纪关于实数域的扩张及其分类的研究。F.G.弗罗贝尼乌斯、J.W.R.戴德金、É.(-J.)嘉当、W.R.哈密顿和T.莫利恩等人是发展超复系理论的主要数学家。后来，发展成一般域上的代数结构理论，是源于J.H.M.韦德伯恩在1907年发表的著名论文。A.A.阿尔贝特、R.（D.）布饶尔及（A.）E.诺特等人发展与简化了单纯代数理论与算术的理想理论，在1927年E.阿廷的论文又把代数结构的主要结果推广到具极小条件的环上，而成为韦德伯恩-阿廷结构定理。此后对于不具链条件的环换成一些拓扑或度量的条件进行研究，如J.冯·诺伊曼与F.J.默里在希尔伯特空间中研究变换环，冯·诺伊曼的正则环理论与И.М.盖尔范德的赋范环论等。19世纪40年代后，一般环的根理想理论应时而起，迅速发展，其中尤以雅各布森根与半单纯环以至本原环理论较为系统而深入。1958年A.W.哥尔迪对具极大条件的环得到了至善的结果。在体论以及非结合环中的若尔当环与雅各布森环的研究，近年来均甚为活跃。
参考书目
N. Jacobson，Structure of Rings，2nd ed.， Amer. Math.Soc.， Providence， R.I.，1964.
N.J.Divinsky，Rings and radicals，George Allen & Unwin， London，1965.
F.A.Száiz，radicals of Rings，Akadémiai Kiad圝， Budapest，New York， 1981.