词条 | 病态矩阵 |
释义 | bingtai juzhen 病态矩阵(卷名:数学) ill-conditioned matrix 求解方程组时对数据的小扰动很敏感的矩阵。解线性方程组Ax=b时,若对于系数矩阵A及右端项b的小扰动δA、δb,方程组(A+δA)塣=b+δb的解塣与原方程组Ax=b的解差别很大,则称矩阵A为病态矩阵。方程组的近似解塣一般都不可能恰好使剩余r=b-A塣为零,这时塣亦可看作小扰动问题A塣=b-r(即δA=0,δb=-r)的解,所以当A为病态时,即使剩余很小,仍可能得到一个与真解相差很大的近似解。例如,取 ![]() ![]() ![]() ![]() 判定矩阵是否病态以及衡量矩阵的病态程度通常是看数值K(A)=‖A-1‖‖A‖的大小,其中A-1为矩阵A的逆,‖‖表示对矩阵取某一种范数。K(A)称为A的条件数,它很大时,称A为病态,否则称良态;K(A)愈大,A的病态程度就愈严重。 对小扰动问题 (A+δA)塣=b+δb与原问题Ax=b的解有估计式 ![]() ![]() 希尔伯特矩阵是一类著名的病态矩阵,其定义为 ![]() ![]() K(H7)=4.75×108K(H8)=1.53×1010 K(H9)=4.93×1011K(H10)=1.60×1013 当n较大时,有近似表达式K(Hn)~e3.5n。在一台相当于10位十进制字长的计算机上对希尔伯特矩阵求逆或解方程组时,如n≥8,则所得解答连一位准确数字都没有。 |
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