极分解定理(卷名：力学)
polar decomposition theorem
又称乘法分解定理，它表示，任一可逆的二阶张量
具有下列两个唯一的相乘分解：
式中
为正交张量，而
和
为对称正定张量。下列关系成立：
式中
T为的转置。若把极分解定理应用于变形梯度
，则
为表示纯转动的转动张量，而
和
分别为表示纯变形的右和左伸长张量。在这种情况下，右分解表示首先进行纯变形
，然后再进行转动
，从而得到变形梯度
；而左分解则表示首先进行转动
，然后再进行纯变形
，从而得到变形梯度
。
和
是一个平方根张量。一般用分析方法求解张量的平方根是不容易的，但是关系
和
是容易由
求得的。
和
分别称为右和左柯西-格林张量（见应变张量）。类似地，把极分解定理应用于相对变形梯度
t，则有：
，式中
t为相对转动张量，而
t和
t分别为右和左相对伸长张量。于是
和
分别称为右和左相对柯西-格林张量。