极限(卷名：数学)
limit
分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如，3世纪中国数学家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率 π的。随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。直到 19世纪，由A.-L.柯西、K.（T.W.）外尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认。
凡本质上与极限概念有关的数学分支统称为分析数学，以区别于完全不用这一概念的代数学。几何学的各分支绝大部分也直接或间接地与极限概念密切相关。
数列的极限 已给一数列α1，α2，…，αn，…或简记为{αn}，以A为极限是指：任给
>0，必存在自然数N，使当n>N 时，恒有｜αn-A｜<。这一事实记为
。一数列{αn}有极限存在的充分必要条件为:任给
>0，必有自然数N存在，使当m，n>N 时，恒有
。这叫做极限存在的柯西准则。数列极限有以下的四则运算法则：设
，
，则有
，
，
。任给一数列{αn}，它不一定有极限，例如
1，-1，1，-1，…，(-1)n
，…，1，3，5，7，…，2n-1，…，都没有极限，但对后一数列，也称它为趋于+∞（正无穷大）。一般地说数列{αn}趋于正无穷大，是指:任给正数M，必有自然数N 存在，使当 n>N 时，恒有αn>M，记作
。同样，在上述定义中，如把不等式 αn>M改为αn<-M，则称
；又若将此不等式改为｜αn｜>M，则称
。数列极限的理论也是级数理论的基础。
函数的极限 设ƒ(x)是在x=α附近有定义的一个函数（但ƒ(α)可以没有意义），则ƒ(x)当x→α时以A为极限是指：任给
>0，必有δ>0存在，使当0<｜x-α｜<δ时，恒有｜ƒ(x)-A｜<。这一事实记作
。 (1)函数ƒ(x)当x→α时有极限的充分必要条件是：任给ε>0， 必有δ>0存在， 使当0<｜x-α｜<δ， 0<｜x′-α│<δ时， 恒有｜ƒ(x)－ƒ(x′)｜<
。这是函数极限存在的柯西准则。对于函数极限，也有四则运算法则如下：设
，
，则
，
，
。一般，
不一定存在，称
是指：任给M>0， 必有δ>0存在，使当0<｜x-α｜<δ时恒有ƒ(x)>M。类似地，还有
， 
， 
等等情况；例如，上面最后一式是指:任给M>0，必有N>0存在，使当x<-N 时，恒有ƒ(x)>M。如果在(1)式中限制x>α（或x<α），则记为
，这时称 A为ƒ(x)当x→α时的右（或左）极限。显然极限(1)成立的充分必要条件是这两个左右极限都等于A。函数极限与数列极限有如下的关系。仍设ƒ(x)在x=α的附近有定义，则(1)式成立的充分必要条件是：任取数列{xn}(xn≠α)使得xn→α，则必有ƒ(xn)→A。由这个命题就可把函数极限的问题转化为数列极限的问题来考虑。
利用极限的四则运算可求出一些初等函数的极限，但也有许多极限不能用这种方法求得。下列两个重要极限就是这样的例子。
，
。这两个极限之所以重要，是由于在微分学中，三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数的求导公式就是建立在它们的基础之上的。多元函数的极限 上述函数极限指的是一元函数的情况。这一概念及其运算法则也可推广到多元函数的情况。设ƒ(x1，x2，…，xn)为一个n元函数，在(α1，α2，…，αn)附近有定义，记x=(x1，x2，…，xn)，也可说x是一个n维向量或n维空间中的一点，又记α=(α1，α2，…，αn)。这时(1)式的定义仍可用，只是0<｜x-α｜<δ中的｜x-α｜要理解为
，于是这个不等式实际上是
(2)这个不等式也可换作
， (3)但x≠α即xi=αi不能对i=1，2，…，n均可成立。无穷小量与无穷大量 在某变化过程中，极限为0的变量(包括数列和函数)称为无穷小量。以函数为例，设
lim ƒ(x)=A (4)（x→α或x→±∞等均可，但这一过程保持不变，略去不写），则α(x)=ƒ(x)-A为无穷小量，即
ƒ(x)=A+α(x)； (5)反之，如(5)式成立，式中α(x)为一无穷小量，则(4)式成立。由于这一原因，讨论以常数为极限的变量可以转化为讨论无穷小量的情形，因而后者有其特殊的重要地位。
若ƒ(x)，g(x)为(在自变量x的同一变化过程中的)两个无穷小量，在很多情况下可进行阶的比较：
① 若
，则称ƒ(x)为g(x)的高阶无穷小(量)，或称g(x)为ƒ(x)的低阶无穷小。② 若
，则称 ƒ(x)与g(x)为同阶无穷小；特别，如A=1，则称ƒ(x)与g(x)为等价无穷小。注意，同阶无穷小ƒ(x)与g(x)有时也理解为
，而不必
存在。③ 若
，则称ƒ(x)为g(x)的k阶无穷小，这里k为某确定的正数。如在某变化过程中，ƒ(x)→∞，则称它是无穷大量，这时显然
，为无穷小量。反之，如ƒ(x)为一无穷小量（但≠0），则
为无穷大量。因此无穷小量与无穷大量之间可互相转化。对于无穷大量，也有类似的阶的比较。如
为无穷小量，则常记ƒ(x)=O(｜g(x)｜)（在一定的变化过程中）；如
为有界量，即
，则可记为ƒ(x)=O(｜g(x)｜)（在一定的变化过程中）。
复数列与复函数的情况 有关数列极限、函数极限的概念及其判别准则和四则运算法则，都可推广到复变量和复函数的情况，这时实数的绝对值就要用复数的模来代替。特别注意，对于多元复函数的极限情况，不能再用(2)式而必须用(3)式。复函数的极限概念是复变函数论的基础。极限概念还可推广到向量值函数（见向量分析）甚至更为一般的情况。