玻耳兹曼方程数值解法(卷名：数学)
numerical method for Boltzmann equations
玻耳兹曼方程是原子物理、天体物理等领域中的描写粒子(中子、质子、光子等)运动的基本微分－积分方程。假定粒子在两次碰撞之间作等速直线运动，而在穿过介质的过程中按照一定的概率与其他粒子相碰撞，从而发生偏斜、慢化、被吸收或增殖等现象。由于粒子是大量的，因此可以忽略统计起伏，把它们看成是连续体。求解玻耳兹曼方程，就是要求出在任一时刻，具有不同速度的粒子在空间的分布。玻耳兹曼方程数值解法很多，其中以解描述中子输运问题的玻耳兹曼方程的数值方法较为典型。
描述非定常中子输运过程的玻耳兹曼方程为：
， (1)式中t为时间；r、v分别为中子的位置和速度向量，v＝vΩ，Ω为中子速度方向的单位向量；φ(r，v，t)为中子角通量分布；σ(v，r)表示在点r处速度为v的中子的宏观总截面，σ′=σ(v′，r);ƒ(v′→v;r)dv是在r处中子速度由v′转移到v与v+dv之间的总概率；
是独立中子源。对于单速各向同性散射一维球对称问题，非定常中子输运方程为 
式中r为径向坐标;μ＝cosθ，θ为向径和速度向量间的夹角；σ(r)为总截面；β(r)=σ(r)с(r)，с(r)为在r处每次碰撞所产生的平均次级中子数。方程(2)的定解条件为
。20世纪40年代发展了用于解定常问题的两类主要解法。
①球谐函数法 它把φ和
按勒让德多项式PN(μ)(球谐函数）展开，例如，令
利用勒让德多项式的性质，把方程简化，再取展式的前N+1项，得φ0，φ1，…，φN的N+1个方程的联立方程组，然后用差分法求数值解。该法又称为PN近似法。②威克－昌德拉塞卡离散纵标法 简称WC法。它(主要针对平板几何问题)是取μ的一组固定值，μ0，μ1，…，μN，对φ(r，μi，t)(i=1，2，…，N)写出方程组。右端积分用数值积分逼近，例如取μi为勒让德多项式零点的高斯求积公式，然后用差分法求解。对于各向同性散射的平板问题，WC法和球谐函数法是等价的。
1953年 B.G.卡尔森提出了解中子输运方程(2)的SN方法，该法取－1=μ0<μ1<…<μN=1（其中
），把[-1，1]分成N个区间，在每个区间[μj-1，μj]上假定φ是μ的线性函数，同样取
R，假定在每个区间 [ri-1，ri]上 φ 也是 r 的线性函数。将(2)在区域{ri-1≤r≤ri，μj-1≤μ≤μj}上对r和μ积分，然后对时间作隐式向后差分得到差分格式，并适当选取插值公式，使差分方程的解满足粒子数守恒的性质。卡尔森等人在50年代末进一步提出离散SN法，又称 离散纵标法(简记DSN法)。这种方法可以比较容易地推广到多维情况。它是从守恒方程
出发的，离散分点取为 
，-1<μ1<μ2<…<μN<1，其中μ1，μ2，…，μN取为勒让德多项式零点，取N为偶数，右端积分用高斯积分公式近似。在点
上建立差分，为此在高斯积分系数ωj对应的子区间上对μ 近似积分，在(ri-1，ri)上对r作体积分，对t用中心差分，则得
式中
是以 ri-1和ri为内外半径的球壳的体积，Ai是半径为ri的球面面积。
，
按递推公式
求出。此外，还要补充关系
和边界(μ=-1)方程
定解条件离散化为
。若取φn为迭代初值，把S中的φ用前次迭代值代入，则利用边界条件，(4)、(5)可显式递推求解，计算步骤按μ从小到大的顺序进行。当μ<0时，利用外边界条件对r从大到小进行计算，当μ>0时，则利用中心对称条件，对r从小到大进行计算。SN方法和 DSN方法是求解玻耳兹曼方程的有效的数值方法，其主要缺点是计算中可能出现负通量，为了避免出现负通量有各种修正格式。
对于定常的玻耳兹曼方程，70年代出现了多种有限元算法。有通过引进角通量偶次分量，把方程化为自伴形式，再构造泛函求极小的有限元算法；也有直接用加廖金法（包括连续的和不连续的方法）和配置法等的有限元算法。
此外，还有许多其他的数值方法，例如特征线法、分裂法和几种方法相结合的混合解法，以及求解积分型输运方程的各种数值方法。而基本概率理论的蒙特卡罗法在输运计算中也占有重要的地位。
参考书目
R.D.Richtmyer and K.W.Morton，Difference Method for Initialvalue Problems， 2nd ed.，Interscience， New York，1967.